概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第6页 (共57页)
?Ck!?C?k?1k?1??k??k???k?0???C????C(e?1)?1 ?k!?k?0k!0!?解得：C?1
(e??1)
5. 已知X的分布律 X
P
－1 1 2
312 66
6
1?；3?. ? 求：（1）X的分布函数；（2）P?（3）X?P1?X?????2?2???解 (1) X的分布函数为F(x)?P(X?x)?xk?x?pk
?0,?1/6,? F(x)???1/2,??1,(2) P?X?x??1??1x?1;
1?x?2x?2??1?1 ?P(X??1)??2?63???P(?)?0 2?(3) P?1?X???6. 设某运动员投篮投中的概率为P＝0.6，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出
其图形.
解 X的分布函数 F(x) 0 1 x
7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：
（1）三次射击中恰好命中两次的概率；
（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则
223?2(1) P(A) =P?3p2(1?p) 3(2)?C3p(1?p)?0?F(x)??0.6?1?x?00?x?1 x?11 0.6 (2) P(B) =P3(2)?P3(3)?C3p(1?p)223?2?C33p3(1?p)3?3?3p2?2p3
8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：
（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；
（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第7页 (共57页)
(1) P(X=6) =
P(X=6) =
???4?4e?e?0.104k!6!?kk!e??k6或者
4k?4?4k?4??e??e= 0.21487 – 0.11067 = 0.1042. k?6k!k?7k!??4k?44k?4??e?1??e?1?0.00284(2) P(X≤10) = 0.99716
k?0k!k?11k!10
9. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4)
解 由已知可得，
?1???2??e?e,1!2!
解得λ=2， (λ=0不合题意)
24?2因此,P(X?4)?e= 0.09
4!
10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃
瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.
解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此
32?3 (1) P(X=2) ?e?0.224
2!(2)P(X?2)?1?P(X?2)?1??3e?3?1?0.8008?0.1992
k?2?kk!3k?3(3)P(X?2)?P(X?2)??e?0.5768
k?3k!?3k?3(4)P(X?1)??e?0.9502
k?1k!?
11. 设连续型随机变量X的分布函数为
?0,?F(x)??kx2,?1,?x?00?x?1
x?1求：（1）系数k；（2）P(0.25 F(x)=P(X≤x)=P(X<0)+P(0≤X≤x)=kx2 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第8页 (共57页) 又F(1) =1, 所以k×12=1 因此k=1. (2) P(0.25 ?2x,0?x?1f(x)?F'(x)?? 0,Other? (4) 由(2)知，P(0.25 P{四次独立试验中有 三 次 在 (0.25, 0.75) 内 } = C0.5(1?0.5)3434?3?0.25. 12. 设连续型随机变量X的密度函数为 k?,x?1?2 F(x)??1?x?0,x?1?1?（3）X的分布函数. 求：（1）系数k；（2）P??X??；2??解 (1)由题意， ?????f(x)dx?1, 因此 1?1?? (2) ????f(x)dx??1k1?x21d?xakrcsinx??k??1 1解得: k???1?? ?31/21????1?1/2k1?P?x????dx?arcsinx???2?1/2?1/2??662???1?x (3) X的分布函数 xF(x)?? ???0?f(x)dx??1/2?arcsinx/??1?x??1?1?x?1x?1 解得: k?1/? 13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天的耗电率(即用电量除以100万 千瓦时)，它具有分布密度为 ?12x(1?x)2,F(x)???0,0?x?1其他 若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第9页 (共57页) 电量为90万千瓦时又是怎样的？ 解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=?12x(1?x)2dx?0.0272 0.81 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=?12x(1?x)2dx?0.0037 0.91 14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分 布，分布密度为 x?1600e,?F(x)??600?0,?0?x0?x 试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率. 解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则 P(A)= ?20001e600?x600dx?1?e?13 设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为： 1P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?CPA()?(1PA())??1e(?)?1e030?30?313 215. 设X为正态随机变量，且X～N(2，?)，又P(2 ?2?2X?24?2??2? P(2?X?4)?P 3????????00.?????????????即???2???0.3?0.5?0.8 ???X?20?2???2??2?故 P(X?0)?P?????????1?????0.2 ?????????? 16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X－10| ?aX?10a? 解 由于P?|X?10|?a??P??a?X?10?a??P??????222??a???a??a??????????2????1?0.9 ?2??2??2??a?所以????0.95 ?2?a 查表可得， =1.65 2即 a = 3.3 17. 设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05 ±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第10页 (共57页) 解 由题意，设P为合格的概率，则 P?P(|X?10.0?5|0.?12P)???0.X?12X?10.05? ??10.05?P?0.?12?2???0.06??2??(2)??(?2)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544 则不合格的概率=1?P = 0.0456 18. 设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1， x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题， x1?603?X?60x1?60?P(X?x1)?P??)??0.25???(3333?4?5 ??x?60x?60?(?1)?1??(1)?0.75,33查表可得 ?x1?60?0.67 3 解得, x1 = 57.99 x2?603?4?X?60x2?60?又P(X?x2)?P??)??0.5833 ???(3?33?4?5?3查表可得 x2?60?0.21 3解得, x2 =60.63. 19. 已知测量误差X（米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一 次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？ 解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知 ??10?7.5X?7.5?10?7.5p?P(X?10?)P???? 1010??10??(0.25?)??(1.?7?5)?(0.?2?5)1?(1.7?5)?0.59?87558610.95990.设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784 取n=5, 即，需要进行5次测量. 20. 设随机变量X的分布列为 X －2 0 2 3 P 11 77 7 3 27 试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列. 解 (1) 2X的分布列如下 2X -4 0 4 6 p 1/7 1/7 3/7 2/7 (2) x2的分布列 X2 0 4 9 p 1/7 4/7 2/7