概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第26页 (共57页)
l1l?2?dx??x2?2xy?y2?dy0l0 3l?1l?2y?2??xy?xy2??dx3?0l0?1?2l1?2ll3?0xl?xl?3dx?13122l3?xl?xl?23?3l22?lx? ?01?l26 D(X?Y) = E((X?Y)2)?(E(X?Y))2 =
121212l?l?l 6918
14. 设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为
1??2,???????x??f(x)??2
????????????其他,求E(2X2)，D(2X2). 解 E(2X2)?2E(X2)?2?????12xf(x)dx?2?2x2dx?02121 61 12E(X)?4?????xf(x)dx??2x4dx?041,802E(X2)?D(2X2)?4D(X2)?4E(X4)??E(X2)???1?1?1 ?4??????80144?45
15. 设随机变量X的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率
P(X?E(X)?7.5)
的值.
解 由切比雪夫不等式, 取??7.5,??2.5, 得
2.52 P(X?E(X)?7.5)?. ?7.5245
16. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A发生的
次数为X，试利用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率 解 由题意，X~B(100，0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根据切比雪夫不等式, 有
P(40?X?50)
2?2?P(X?50?10)?1?2
??1?253?. 1004
17. 设连续型随机变量X的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为f(x)，证明：
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第27页 (共57页)
（1）a≤E(X)≤b；
(b-a)2（2）D(X)?.
4解 (1) 由题意，a≤X≤b, 那么
E(X)????????????xf(x)dx???????a?x则,b
???????a?af(x)dx????xf(x)dx??bf(x)dx
????f(x)dx??????xf(x)dx?b?f(x)dx,
由于
?f(x)dx?1
所以a?E(X)?b
(2) 解法(一)
因为 x?[a,b], 所以有(x?a)(x?b)?0
即 x2?(a?b)x?ab?0,
E(X2?(a?b)X?ab) E(X2)?(a?b)E(X)?ab
又 D(X)?E(X2)??E(X)?2
?(a?b)E(X)?ab??E(X)?
2??E(X)?a??b?E(X)?(平均值不等式变形:a,b?0时,ab?2a?b)2(X)?E(X)?a?b?E? ???
2???b?a????
2??(b?a)2即D(X)?
4
解法(二), 由于
2E((X?C)2)?E(X2?2XC?C2)
?(E(X)?C)2?E(X2)??E(X)?
2?(E(X)?C)2?D(X)
当C?E(X)时,E((X?C)2)取最小值D(X)
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第28页 (共57页)
于是当C?D(X)?E
??X?E(X?)?2a?b时,有22??a?b???E??X?????2????2??a?b???E??b?????2????
??b?a?2??b?a??E???????2??4??2
18. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X 0 1 Y 1 0.1 0.2 2 0.2 0.4
求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，?XY及协方差矩阵. 解 由题设，
E(X)?0?(0.1?0.2)?1?(0.3?0.4)?0.7 E(Y)?0?(0.1?0.3)?1?(0.2?0.4)?0.6
E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4
E(X2)?02?(0.1?0.2)?12?(0.3?0.4)?0.7 E(Y2)?02?(0.1?0.3)?12?(0.2?0.4)?0.6D(X)?E(X2)?(E(X))2?0.7?0.49?0.21 D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?0.6?0.36?0.24
cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = 0.4?0.6×0.7 = ?0.02
?XY?cov(X,Y)/D(X)D(Y)??0.02/0.21?0.24??0.089
协方差矩阵为
??12C?????1?2??1?2??0.21?0.02????? 2?2???0.020.24?
19. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X －1 0 1 Y
－1 0
11 88 18
8 8
11
0
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第29页 (共57页)
1
解 由于
11 88
8
1
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
?111??111?E(X)??1??????0?1??????0,?888??888?
?111??111?E(Y)??1??????0?1??????0,?888??888?cov(X,Y)?E((X?E(X))(Y?E(Y)))?E(XY)
111111?(?1)?(?1)??(?1)?0??(?1)?1??0?(1)?(?1)??1?0??1?1??0888888因此?XY?0, 即X和Y是不相关的.
111?0?P(X?0,Y?0), 但由于P(X?0)P(Y?0)???8816因此X,Y不是相互独立的.
20. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为
?1?(x?y),???????x?2???y??? f(x,y)??8????????????????????其他，求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，?XY及协方差矩阵.
11(x?y)dy?(x?1) ???084??217E(X)?xf(x)dy?x(x?1)dy? ???X?046??122522 又E(X)??xfX(x)dy??x(x?1)dy?
??403解 fX(x)???f(x,y)dy??257?11 D(X)?E(X? )?E(X??)?????3?6?36711D(Y)?, 同理可得 E(Y)?,636????1224 E(XY)???xyf(x,y)dxdy???xy(x?y)dydx?
????8003cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)
4771????? 36636cov(X,Y)1111?XY??????
363611D(X)D(Y)222协方差矩阵为
??12C?????1?2
??1?2??11/36?1/36????? 2?2???1/3611/36?概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第30页 (共57页)
21. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)
＝12，求(X, Y)的密度函数. 解 由题意,
??cov(X,Y)123?? 205D(X)D(Y)12??x???2x??1??y??2??y??2???1????2??22?2(1??2)?????1122?? 则密度函数为
1f(x,y)?2??1?21??2e
?
22. 设随机变量X和Y相互独立，且E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求E((X＋Y)2). 解 E(X?Y)?EX?Y?2XY?E(X)?E(Y)?E(2XY)
2222由于D(X)=E(X)??E(X)??E(X)=1,D(Y)=E(Y)??E(Y)??E(Y)=1
221e32??25?x23xyy2??????32??165025?
?2??22?22因此有
E?(X?Y)2??1?1?0?2
23. 设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为0.4，试求D(X＋Y)，D(X－Y).
解 由题意， 0.4?covX(Y,),D(X)DY()coXvY(?,)?0.?4?5 612 D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y) = 24+25+36=85 因为 cov(X, ?Y) = ?cov(X,Y) = ?12
因此
D(X?Y) = 2(cov(X,??Y))+D(X)+D(?Y) = ?24 + 25 + 36 = 37.
24. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0, ?2)，令U＝aX＋bY，V＝aX?bY，
试求U和V的相关系数.
解 由于X，Y相互独立，则都服从N(0, ?2)
D(U)?D(aX?bY)?a2D(X)?b2D(Y)??2(a2?b2)
D(V)?D(aX?bY)?a2D(X)???b?D(Y)??2(a2?b2)
2D(U?V)?D(aX?bY?aX?bY)?D(2aX)?4a2?2
1cov(U,V)??D(U?V)?D(U)?D(V)?2
1?(4a2?2?2(a2?b2)?2)?(a2?b2)?22cov(U,V)(a2?b2)?2a2?b2???222?22
a?bD(U)D(V)(a?b)?