概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第31页 (共57页)
第四章 大数定律与中心极限定理
1. 设Xi，i＝1，2，?，50是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为?＝0.02的泊松
分布. 记X＝X1＋X2＋?+X50，试利用中心限定理计算P(X≥2). 解 由题意，E(Xi) = D(Xi) = ????????，X?????????由中心极限定理???随机变量????????所以有??
?P(X?2)?1?P(X?2)?1?P(X?1?1)?1??(1)?0.1587
2. 某计算机系统有100个终端，每个终端有2％的时间在使用，若各个终端使用与否是相
互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被使用的概率.
解 设X为被使用的终端数, 由题意, X~B(100, 0.02) (1) 用二项分布计算
0P(X?1)?1?P(X?0)?1?C100(0.02)0(1?0.02)100?1?0.1326?0.8674
?Xi?150i?
X?n?X?50?0.02??X?1近似服从标准正态分布 n?500.02 (2) 用泊松分布近似计算
因为 ????np = 100×0.02 = 2, 查表得
?0.1353 = 0.8647. 1? P(X?1)?1?P(X?0) (3) 中心极限定近似计算
np?100?0.02?2,npq?2?0.98?1.96P(X?1)?1?P(0?X?1)??1?np??0?np???1??????????npq?????npq?????????1?2??0?2???1??????????1.961.96???????1???1.43????0.71??0.8375
3. 一个部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分
布，数学期望为2mm，均方差不0.05mm，规定部件总长度为20±0.1mm时为合格品，求该部件为合格产品的概率.
解 设Xi表示一部分的长度, i=1, 2, …, 10. 由于X1, X2, …, X10相互独立, 且E(Xi) =2, D(Xi)=0.052, 根据独立同分布中心极限定理，随机变量
1101(X?2)?(X?20) 近似地服从标准正态分布. 于是 ?kk?10.1580.05n 31
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第32页 (共57页)
P(19.?9X?20.1)?20X?202?0.1?19.9?20?P???? 0.1580.?158?0.158??(0.63?3?)?(0.633)?2?(0.63?3)?1?20.?7?3510.47
4. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差
是相互独立的，且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布.
(1) 若将1500个数相加，试求误差总和的绝对值超过15的概率； (2) 多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率. 解 设Xi表示一个加数的误差，则Xi~U(-0.5, 0.5), E(Xi) =0, D(Xi)=1/12 (1) 根据独立同分布中心极限定理，随机变量
1n???1500i?1(Xi?E(Xi))11500(Xi?0) ?i?11500/12115001?(X?0)?X?ii?111.181500/12近似地服从标准正态分布. 于是
P(?15?X?15)
X15? ??15?P?????11.1811.1811.18???(1.34)??(?1.34)
?2?(1.34)?1?2?0.9099?1?0.8198 因此所求的概率为：
1-P(-15 (2) 由题意，设有n个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.90,X = nXi. 由独立同分布的中心极限定理，随机变量准正态分布. 则 1?n?i?1(Xi?E(Xi))?n1X近似地服从标n/12X10???10P(X?10)?P(?10?X?10)?P???? = 0.90 n/12n/12??n/12?10???10??10??????2???????1?0.9n/12n/12n/12?????? ?10?即????0.95.?n/12?10查表得 =1.645, n/12解得：n=443 即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率 5. 为了确定事件A的概率，进行了一系列试验. 在100次试验中，事件A发生了36次， 如果取频率0.36作为事件A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率. 32 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第33页 (共57页) 解 (删除) 6. 一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概 率为0.1，又知为使系统正常运行，至少有89％的部件工作. （1） 求系统的可靠度（系统正常运行的概率）； （2） 上述系统由n个相互独立的部件组成，而且要求至少有87％的部件工作，才能 使系统正常运行，问n至少为多在时，才能保证系统的可靠度达到97.72％？ 解 设X表示正常工作的部件数，X~B(10000, 0.9), (1) 所求的概率为P(X?0.89?10000), 由于n比较大，可以使用中心极限定理，由于 E(X)?np?9000,D(X)?np(1?p)?900，近似地有，X~N(9000, 900), 则 P(X?8900) ?1?P(X?8900) ?1?P(X?90008900?9000?)900900?1????3.33??1??1???3.33?????3.33??0.9996 (2) 根据题意, 设X为正常工作的部件数，则E(X)?np?0.9n, D(X)?np(1?p)?0.09n 根据中心极限定理, 近似地有X~N(0.9n, 0.09n) P(X?0.87n)?1?P(X?0.87n) ?1?P??X?0.9n0.87n?0.9nn? ?????0.09n?10?0.09n???n?n??1?????10???1?1?????10???????n?????10???0.9772??n 查表得 ?2.0, n=400, 10 即, n至少为400时, 才能保证系统的可靠度达到97.72%. 7. 某单位有200台电话分机，每台分机有5％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否 使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线才能以90％以上的概率保证分机使用外线时不等待？ 解 设X为某时刻需要使用外线的户数（分机数），显然X~(200, 0.05)， E(X) = np = 10, D(X) = np(n-p) = 9.5. 设k是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线，必须有k≥X. 根据题意应有： P(X?k)?0.90 这里n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有X~N(10, 9.5)： P(X?k)?P??X?10k?10??k?10? 0???0.9????9.59.?5?9.5??33 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第34页 (共57页) 经过查表，k?10?1.29,k?13.97， 取k = 14 9.5即至少14条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%. 8. 设μn为n重伯努利试验中成功的次数，p为每次成功的概率，当n充分大时，试用棣 莫弗－拉普拉斯定律证明 ??nn?P(|?p|??)?2????pq???1. n??式中，p＋q＝1；??x?是标准正态分布的分布函数. 证明 由题意，?n~B(n,p), E(?n)?np,D(?n)?npq, 当n很大时，?n近似服从正态分布，即?n~N(np,npq), 或者使用标准化的随机变量： 因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有 ?n?npnpq~N(0,1), q?1?p ???P?n?p??? ?n????npn??n?=P??n?np?n???P?? ?npqnpq?????n?npnn??P?????????pqpqnpq????n?n?公式4.3????pq????????pq?????? ??n??n?????1?????pq??????pq????????????n??2????pq???1?? 9. 现有一大批种子，其中良种占 占比例与 1，今在其中任选4000粒，试问在这些种子中，良种所41之差小于1％的概率是多少？ 4解 设X为4000粒种子中良种粒数，则所求的概率为： P??X1???0.0?1 ?40004? 因为，X ~ B(4000, 0.25), 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有 34 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第35页 (共57页) ?X1?P???0.01??40004??P?X?1000?40?40?40?????????????4000?0.25?0.75??4000?0.25?0.75??2??1.46??1?0.8556 10. 一批种子中良种占 11，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与66相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？ 解 设X为6000粒种子中良种粒数，设所求的差异为p, 则所求的概率为： P??X1? ??p??0.9960006?? 因为，X ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉 斯定理，有 ?X1?P???p??60006??P?X?1000?6000p? ?6000p???6000p? ?????????2500/3??2500/3??6000p??2????1?0.99?2500/3??6000p???0.995 ?2500/3?6000p?2.575, 查表可得 2500/352.575?6000?16?6解得p??0.0124 6000?460?00 所以, 良种的粒数大约落在区间(926, 1074)之间. 由于 0.012因此 ?? 35