概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第11页 (共57页)
21. 设X服从N(0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函数.
?x,x?0, 从而可得Y=|X|的密度函数为： 解 y=|x|的反函数为h(y)=??x?0?x, 当y>0时，f(y)?f(?y)|(?y)'|?f(y)|y'|?YXX当y≤0时，fY(y)?0
?2?ye2,y?0 因此有 f(y)????Y?0,y?0?2?y1e2?2?2?y1e2?2?22?e?y22
22. 若随机变量X的密度函数为
?3x2,f(x)???0,求Y＝
0?x?1其他
1的分布函数和密度函数. x111 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y>1, h’(y)=?2xyy
解 y=
?1?1?1??1?3fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX???2?3?2??2??4
?y?y?y??y?y?3,y?14因此有 f(y)?? y?Y?0,other??y?4?3y3ydy??y?1?y?3,??Y的分布函数为：FY(y)??11?0,?
23. 设随机变量X的密度函数为
y?1other
2?,?2f(x)???(1?x)?0,?x?0
x?0yy试求Y＝lnX的密度函数.
解 由于y?lnx严格单调，其反函数为h(y)?e,且h'(y)?e, 则
fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(ey)ey2ey? 2y?(1?e)2?,???y????yy?(e?e)
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第12页 (共57页)
24. 设随机变量X服从N(μ,?)分布，求Y＝e的分布密度. 解 由于y?ex严格单调，其反函数为h(y)?lny,且h'(y)?,y>0, 则
2x1yfY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(lny)?1e?12?(lny??)221y
2??y当y?0时fY(y)?0
,y?01?(lny??)2?12e2?,?因此 fY(y)??2??y??0,y?0y?0
?2x25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝1?e在区间(0, 1)上服从均匀
分布. 解
1h(y)??2由于y?1?e?2x在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：
ln?(1y)?,y0?
1,并且h'(y)?1，则当0?y?1
2(1?y)fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|11?fX(?ln(1?y))
22(1?y)1?12(1?y)当y≤0或y≥1时，fY(y)=0.
?2e因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.
26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的
次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为
1?2(?ln(1?y))2132?1??1?P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=C3 ?????8?2??2?82?1??1?P(X=1, Y=1)= C?????2??2?133?13? P(X=0, Y=3)= 8?1?1??? ?2?83于是，（X，Y）的联合分布表如下： X 0 1 2 3 Y 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8
27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3
件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求： （1）X与Y的联合概率分布；
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（2）X、Y的边缘概率分布； （3）X与Y相互独立吗？
解 根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：
ijk(1) pij?P(X?i,Y?j)?C2C7C1,其中,i?j?k?3,i?0,1,2,j?0,1,2,3
3C10 k?0,1,可以计算出联合分布表如下
Y pi 0 1 2 3 X 0 1 2 0 0 1/120 21/120 35/120 56/120 14/120 42/120 0 56/120 7/120 0 0 8/120 0 pj
1/120 21/120 63/120 35/120 (2) X,Y的边缘分布如上表
(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互独立.
28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取
一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X＋Y>6)
解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为： Y pi 2 3 4 X 2 3 4 22A2/A9?1/36 112A3A2/A9?1/12 112A4A2/A9?1/9 112A2A3/A9?1/12 22A3/A9?1/12 112A4A3/A9?1/6 112A2A4/A9?1/9 2/9 112C3C4/A9?1/6 1/3 22A4/A9?1/6 4/9 pj 2/9 1/3 4/9
(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)
=1/6+1/6+1/6=1/2.
29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为
x??y??F(x,y)?A?B?arctan??C?arctan?,
2??3??求：（1）系数A、B及C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y的边缘分布函
数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立？
解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：
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??x????0?A?B?arcta2n??C?2????????????y? ?A?B?2??C?arctan3??0
???????A?B????C????0?????2??2????A?B????C????1?????2??2???解得：A?122?2F(x,y)6(2) f(x,y)? ?2?x?y?(4?x2)(9?y2)(3) X与Y的边缘分布函数为： FX(x)?F(x,??)??,B?2?,C??,
1??x?????1??x??arctan???arctan?????
?2?2222?22??????1??????y?1??y?FY(y)?F(??,y)?2?????arctan????arctan?
??22??23???22?'X与Y的边缘概率密度为：
(?) fX(x)?FXxy?) fY(y)?FY('232?(x2?4)
?(y?9)(4) 由(2),(3)可知：f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以X，Y相互独立.
30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
?e-(x+y),f(x,y)??0,?0?x???,其他
（1）求分布函数F(x, y)；
（2）求(X，Y)落在由x＝0，y＝0，x＋y＝1所围成的三角形区域G内的概率.
解 (1) 当x>0, y>0时， F(x,y)? 否则，F(x, y) = 0.
(2) 由题意，所求的概率为
??0yx0e?(u?v)dudv?(1?e?x)(1?e?y)
P((x,y)?G)???f(x,y)dxdyG??dx?011?x
0e?(x?y)dy?1?2e?1?0.2642
31. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ae-(3x+4y),f(x,y)??0,?x?0,y?0,其他
求：（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）P(0?X?1,0?Y?2).
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解 (1) 由联合概率密度的性质，可得
??????????f(x,y)dxdy?1????0???04)Ae?(3x?ydxdy?A/12
解得 A=12.
(2) X, Y的边缘概率密度分别为：
???(3x?4y)?dy?3e?3x,x?0??012e fX(x)??f(x,y)dy?????other?0,???(3x?4y)???dx?4e?4y,y?0??012e fY(y)??f(x,y)dx?????other?0,(3) P(0?x?1,0?y?2)
????20?12e0?31?(3x?4y)dxdy
?(1?e)(1?e)
32. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?8?2xy?x?,f(x,y)??3??0,0?x?1,0?y?2,其他
求 P(X＋Y≥1).
解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G中, 则
P((x,y)?G)???f(x,y)dxdyG2xy dy01?x3214xx5x365????dx?032672??dx?x2?1
33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率
密度及边缘概率密度.
解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G的面积A为：
A???Gf(x,y)dxdy??dx?2dy??(x?x2)dx?0x01x11, 6(X, Y)的联合概率密度为： f(x,y)???x?1?6,0.
0,other??? X,Y的边缘概率密度为： fX(x)?????x6dy?6x(2?x),?0x???fx(y,dy)??x?other?0,21