试卷类型：A
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2012.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写
在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V?1 方差s??x1?x?n?2132Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
????x2?x?2?????xn?x??2?，其中x?x1?x2???xn.
??n一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1．已知复数a?bi?i?1?i?（其中a,b?R，i是虚数单位），则a?b的值为
A．?2 B．?1 C．0 2．已知全集U?R，函数y?集合?eUA??B?
A．??2,?1? B．??2,?1? C．???,?2? D．??1,??? 3．如果函数f?x??sin??x????????0的相邻两个零点之间的距离为，则?的值为 ???6?12 D．2
1x?1的定义域为集合A，函数y?log2?x?2?的定义域为集合B，则
A．3 B．6 C．12
222 D．24
24．已知点P?a，b?（ab?0）是圆O：x?y?r内一点，直线l的方程为ax?by?r?0，那么直
线l与圆O的位置关系是
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A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
5．已知函数f?x??2x?1，对于任意正数a，x1?x2?a是f?x1??f?x2??a成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知两个非零向量a与b，定义a?b?absin?，其中?为a与b的夹角．若a=??3,4?， b=?0,2?，
则a?b的值为
A．?8 B．?6 C．8
D．6
7．在△ABC中，?ABC?60?，AB?2，BC?6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的
概率为 A．
16 B．
13 C．
12 D．
23
8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的
坐标?x,y,z?，若x?y?z是3的倍数，则满足条件的点的个数为
A．252 B．216 C．72 D．42 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 2 2 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．
2 210．已知2≤??kx?1?dx≤4，则实数k的取值范围为 ． 正(主)视图
12 2 2 侧(左)视图
11．已知幂函数y??m?5m?7?x2m?62在区间?0,???上单调递增，
2 则实数m的值为 ．
12．已知集合A??x1≤x≤2?，B??xx?a≤1?，若AIB?A，
2 图1 俯视图 则实数a的取值范围为 ．
13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小
石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，
被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1?1，第2个五角形数记作a2?5，第3个五角形数记作第4个五角形数记作a4?22，……，若按此规律继续下去，则a5? ，若an?145，则n? ． a3?12，
1
5
12
图2
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22
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点， C OP?3cm，弦CD过点P，且
CPCD?13B P O D ，则CD的长为 cm．
A 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的
?x?t?2,?x?1?s,参数方程分别为l：?（s为参数）和C：?（t为参数）， 2?y?1?s?y?t图3
若l与C相交于A、B两点，则AB? ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?tan?3x??????的值； ?9???3?????????f??2cos??，若，求?????的值．
2?344????????． 4?（1）求f?（2）设????,
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17．（本小题满分12分）
如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中 甲组 乙组 的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．
9 7 8 7
已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
6 6 9 a 3 5
（1）求a的值；
（2）求乙组四名同学数学成绩的方差； 图4 （3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学
成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．
（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?AD?1，CD?3，PD?平面PAC?平面ABC，PD?AC于点D， 6，P3．
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
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A
DBC图5
19．（本小题满分14分）
等比数列?an?的各项均为正数，2a4,a3,4a5成等差数列，且a3?2a2．
2（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?2n?5an，求数列?bn?的前n项和Sn．
?2n?1??2n?3? 20．（本小题满分14分）
已知椭圆x?2y24?1的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为5的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x1、x2，证明：x1?x2?1；
uuruur22（3）设?TAB与?POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且PAgPB≤15，求S1?S2的取值范围．
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