2012年广州一模理科数学]
由（2）知，x1?x2?1，即x2?21x1．
设t?x1，则1?t?4， S1?S2?5?t?224t．
4t2设f?t??5?t?4t，则f??t???1???2?t??2?t?t2，
当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0， 所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0， 所以当t?4，即x1?2时，?S1?S222?min?f?4??0．……………………………………………12分
当t?2，即x1?222时，?S1?S222?max?f?2??1．………………………………………………13分
所以S1?S2的取值范围为?0,1?．……………………………………………………………………14分
说明：由S1?S2?5??x1?4x22222??5?4xx12?1，得?S1?S222?max?1，给1分．
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设?1(x)?f(x)?g1(x)?e?x?1，
所以?1?(x)?e?1．………………………………………………………………………………………1分
xx当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0．
即函数?1(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增，在x?0处取得唯一极小值，………2分 因为?1(0)?0，所以对任意实数x均有 ?1(x)≥?1(0)?0． 即f(x)?g1(x)≥0，
所以f(x)≥g1(x)．………………………………………………………………………………………3分 （2）解：当x?0时，f(x)?gn(x)．………………………………………………………………………4分
用数学归纳法证明如下：
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①当n?1时，由（1）知f(x)?g1(x)．
②假设当n?k（k?N*）时，对任意x?0均有f(x)?gk(x)，…………………………………5分 令?k(x)?f(x)?gk(x)，?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)，
??1?x??f(x)?gk(x)， 因为对任意的正实数x，?k?1?(x)?f??x??gk由归纳假设知，?k?1?(x)?f(x)?gk(x)?0．…………………………………………………………6分 即?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)在(0,??)上为增函数，亦即?k?1(x)??k?1(0)， 因为?k?1(0)?0，所以?k?1(x)?0． 从而对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)?0． 即对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)．
这就是说，当n?k?1时，对任意x?0，也有f(x)?gk?1(x)． 由①、②知，当x?0时，都有f(x)?gn(x)．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n，gn?1??e．
由（2）知，当x?0时，对任意正整数n，都有f(x)?gn(x)． 令x?1，得gn?1??f?1?=e．
所以gn?1??e．……………………………………………………………………………………………9分 111?2??2??2??2??g1再证对任意正整数n，1?????????????． ?1?1???????n?234n?12!3!n!????????1?2??要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式?成立． ?n!?n?1??n?1?即要证明对任意正整数n，不等式n!???（*）成立．……………………………………10分
2??nn123n以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：
方法1（数学归纳法）：
?1?1?①当n?1时，1!???成立，所以不等式（*）成立．
?2?1②假设当n?k（k?N）时，不等式（*）成立，
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?k?1?即k!???．………………………………………………………………………………………11分
?2??k?1??k?1?则?k?1?!??k?1?k!??k?1???2????2??2?kk?1k．
因为
?k?2????2??k?1????2?k?1k?1?k?2?????k?1?k?11????1??k?1??k?1?Ck?1?Ck?1011?k?1????Ck?1??k?1?k?1?1k?1?2，…12分
?k?1?所以?k?1?!?2???2?k?1?k?2?????2?k?1．……………………………………………………………13分
这说明当n?k?1时，不等式（*）也成立．
由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．
?2??2??2??2?综上可知，对任意正整数n，不等式1???????????????gn?1??e成立．
234n?1????????123n……………………………………14分
方法2（基本不等式法）： 因为n?1?n?12n?12，……………………………………………………………………………………11分 ，
?n?1??2?……， 1?n?n?12，
n?n?1?将以上n个不等式相乘，得n!???．……………………………………………………………13分
?2?所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．
?2??2??2??2?综上可知，对任意正整数n，不等式1???????????????gn?1??e成立．
?2??3??4??n?1?123n……………………………………14分
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