2012年广州一模理科数学]
6DNDE2?6， 33263因为sin?DMN??所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…………………………………………………14分
解法3：延长CB至点G，使得BG?BC，连接AG、PG，……………………………………8分 在△PCG中，PB?BG?BC?6，
P所以?CPG?90o，即CP?PG．
K 在△PAC中，因为PC?23，PA?2，AC?4， AEDB所以PA?PC?AC， 所以CP?PA． 因为PAIPG?P，
G 222 C 所以CP?平面PAG．…………………………………………………………………………………9分 过点A作AK?PG于点K， 因为AK?平面PAG， 所以CP?AK． 因为PGICP?P，
所以AK?平面PCG．
所以?APK为直线AP与平面PBC所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC?PB， 所以PG?PC?23．
在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，
所以AG?2BE?22．………………………………………………………………………………12分 在△PAG中，PA?2，AG?22，PG?23，
所以PA2?AG2?PG2，即PA?AG．……………………………………………………………13分
AGPG222363因为sin?APK???．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为
63．…………………………………………………14分
解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E?xyz，…………………………………………………………………………………………………8分
则A?0,?2,0?，B?2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．
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???Pz 2012年广州一模理科数学]
????????于是AP?0,1,3，PB????????2,1,?3，PC?0,3,?3．
???设平面PBC的法向量为n??x,y,z?， ??????n?PB?0,则????? ??n?PC?0.??2x?y?3z?0,即? ??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2．
所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．……………………………………………………12分
?设直线AP与平面PBC所成的角为?，
????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???32?6AP?n63所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…………………………………………………14分
若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下： （1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E?xyz，…………………………………………………………………………………………………1分 则B?2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3． ???Pz ????????于是BP??2,?1,3，BC??2,2,0． ????????????因为BP?BC??2,?1,3??2,2,0?0， ????AEDBx ????????所以BP?BC． Cy 所以BP?BC． 所以?PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，A?0,?2,0?． ????????于是AP?0,1,3，PB????????2,1,?3，PC?0,3,?3．
???设平面PBC的法向量为n??x,y,z?， ???????n?PB?0,?2x?y?3z?0,则?????即? ??n?PC?0.??3y?3z?0. - 12 - / 18
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取y?1，则z?3，x?2．
所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．……………………………………………………12分
?设直线AP与平面PBC所成的角为?，
????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???32?6AP?n63所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…………………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）
（1）解：设等比数列?an?的公比为q，依题意，有
2a4?4a5?,??a3??a3?a4?2a5,即?……………………………………………………………………2分 2?2??a3?2a2.?a?2a2.2?3234??a1q?a1q?2a1q,所以?………………………………………………………………………………3分
222??a1q?2a1q.?a1???由于a1?0，q?0，解之得??q???1?a?,?2或?12……………………………………………………5分 1?q??1..?21,又a1?0,q?0，所以a1?12,q?12，…………………………………………………………………6分
n?1?所以数列?an?的通项公式为an???（n?N*）．…………………………………………………7分
2??（2）解：由（1），得bn?2n?5?2n?1??2n?3?1?an?2n?5?2n?1??2n?3??12n．………………………………8分
所以bn???2?2n?1??1??n 2n?3?2?1(2n?1)2n?1?1(2n?3)2n．…………………………………………………………………10分
所以Sn?b1?b2?L?bn
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1?1????35?2?13???1?11??1 ??L??????2?n?1n?5?27?22n?122n?32?????????1?2n?3?2n．
故数列?bn?的前n项和Sn?13?1?2n?3?2n．………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．…………………………………………………………………1分
yb22设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，
因为双曲线的离心率为5，所以21?b12?5，即b?2．
所以双曲线C的方程为x?2y4?1．……………………………………………………………………3分
（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），
则直线AP的方程为y?k(x?1)，………………………………………………………………………4分
?y?k?x?1?,?2联立方程组?………………………………………………………………………………5分 y2?1.?x??4整理，得?4?k2?x2?2kx?k?4?0，
2222解得x??1或x?4?k4?k22．所以x2?4?k4?k22．…………………………………………………………6分
同理可得，x1?4?k4?k．…………………………………………………………………………………7分
所以x1?x2?1．……………………………………………………………………………………………8分
证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则kAP?y1x1?1，kAT?y2x2?1．…………………………………………………………………………4分
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因为kAP?kAT，所以
y1x1?1?y2x2?1，即
y122?x1?1??y222?x2?1?y142．……………………………………5分
因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x1?2?1，x2?2y242?1．
即y12?4?x12?1?，y22?4?1?x22?．…………………………………………………………………6分 所以
4?x1?1?2?x1?1?2?4?1?x222??x2?1?，即
x1?1x1?1?1?x2x2?1．……………………………………………………7分
所以x1?x2?1．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?y1x1?1(x?1)，………………………………………4分
y1?y??x?1?,?x1?1?联立方程组?…………………………………………………………………………5分
2?2yx??1.??4?整理，得??4(x1?1)?y1?x?2y1x?y1?4(x1?1)?0， 222222解得x??1或x?4(x1?1)?y14(x1?1)?y12222．…………………………………………………………………6分
将y1?4x1?4代入x?224(x1?1)?y14(x1?1)?y12222，得x?1x1，即x2?1x1．
所以x1?x2?1．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），
????????则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．
????????222因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y1?15，即x1?y1?16．…………………………9分
因为点P在双曲线上，则x1?2y142?1，所以x1?4x1?4?16，即x1?4．
222因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．…………………………………………10分 因为S1?212|AB||y2|?|y2|，S2?2212|OB||y1|?212|y1|，
22所以S1?S2?y2?14y1??4?4x22???x21?1??5?x1?4x2．……………………………11分
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