21．（本小题满分14分）
设函数f(x)?e(e为自然对数的底数)，gn(x)?1?x?（1）证明：f(x)≥g1(x)；
（2）当x?0时，比较f(x)与gn(x)的大小，并说明理由；
?2??2??2??2?*（3）证明：1??????????L??． ?≤gn?1??e（n?N）
?2??3??4??n?1?123nxx22!?x33!?L?xnn!（n?N*）．
数学（理科）试题A 第 6 页 共 4 页
2012年广州一模理科数学]
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题
是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分． 9．
433 10．?,2? 11．3 12．?1,2? 13．35，10 14．62 15．2
3???2?三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f????????tan????34?9???……………………………………………………………………………1分 ?tan?3?tan?3tan?4…………………………………………………………………………3分 ?4 ?1?tan?3?11??3??2?3．………………………………………………………………………4分
（2）解：因为f????3??3?????tan????………………………………………………………………5分 ??4?44???tan?????……………………………………………………………………6分
?tan??2．……………………………………………………………………7分
所以
sin?cos?2?2，即sin??2cos?． ①
2因为sin??cos??1， ②
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由①、②解得cos2????15．………………………………………………………………………………9分
因为????,??5253??cos???sin???，所以，．…………………………………………10分 ?552????? ………………………………………………………11分 ?cos?cos?sin?sin?4?44所以cos?????55??25????25?2?2310．……………………………………12分 ?????210?
17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得
14?(87?89?96?96)?14?(87?90?a?93?95)，……………………………1分
解得a?3.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x?92.……………………………3分
2所以乙组四名同学数学成绩的方差为s?1??87?92?2??93?92?2??93?92?2??95?92?2??9.
?4?……………………………5分
（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4?4?16种可能的结果．……………6分
这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表： X 乙 甲 87 0 6 6 8 21631689 2 4 4 6 96 9 3 3 1 11611696 9 3 3 1 41621687 93 93 95 116216所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分 由表可得P(X?0)?P(X?4)?，P(X?1)?，P(X?6)?，P(X?2)?，P(X?8)?，P(X?3)?，P(X?9)?， .
所以随机变量X的分布列为： X P 0 1161 2162 1162163 4164 2166 3161168 1162169 216 ……………………10分
随机变量X的数学期望为 EX?0??6816116??1?174216?2?116?3?416?4??6?316?8??9?…………………………11分
.…………………………………………………………………………………………12分
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18．（本小题满分14分）
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（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明1：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面PAC，PD?AC，
所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分 记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB?BC，所以BE?AC． 因为AB?BC?6，AC?4，所以BE?BC?CE22??6?2?2?22．………………3分
因为PD?AC，所以△PCD为直角三角形． 因为PD?所以PC?3，CD?3，
PD?CD22P??3??2?2?3?23．………4分
2连接BD，在Rt△BDE中，因为BE?所以BD?BE?DE2222，DE?1，
AEDB
?1?2C?3．…………5分
因为PD?平面ABC，BD?平面ABC，所以PD?BD． 在Rt△PBD中，因为PD?所以PB?PD?BD22 3，BD?223，
?6．…………………………………………………6分 ??3???3?6，PB?在?PBC中，因为BC?所以BC2?PB2?PC2． 6，PC?23， 所以?PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分
证明2：因为平面PAC?平面ABC，平面PACI平面ABC?AC， PD?平面PAC，PD?AC， 所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分 记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB?BC，所以BE?AC． 因为AB?BC?6，AC?4，所以BE?BC?CE22??6?2?2?22．………………3分
连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90o，BE?所以BD?BE?DE222，DE?1，
???22?1?23．………………………………………………………4分
在△BCD中，因为CD?3，BC?2226，BD?3，
所以BC?BD?CD，所以BC?BD．……………………………………………………………5分 因为PD?平面ABC，BC?平面ABC，
所以BC?PD．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD?PD?D，所以BC?平面PBD．
因为PB?平面PBD，所以BC?PB．
所以?PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分
（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，
则?APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………………………………8分
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由（1）知，△ABC的面积S?ABC?1312?AC?BE?22．…………………………………………9分
13263因为PD?3，所以VP?ABC??S?ABC?PD??22?3?．…………………………10分
由（1）知?PBC为直角三角形，BC?所以△PBC的面积S?PBC?126，PB?12?6?6，
6?3．……………………………………11分
?BC?PB?因为三棱锥A?PBC与三棱锥P?ABC的体积相等，即VA?PBC?VP?ABC，
1263263即?3?AH?3，所以AH?．……………………………………………………………12分
在Rt△PAD中，因为PD?所以AP?PD?AD223，AD?1，
??3?32?2?1?2．………………………………………………………13分
226因为sin?APH?AHAP?63． 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分
解法2：过点D作DM∥AP，设DM?PC?M， 则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分
P由（1）知BC?PD，BC?PB，且PD?PB?P， M 所以BC?平面PBD．
因为BC?平面PBC， 所以平面PBC?平面PBD． 过点D作DN?PB于点N，连接MN，
A则DN?平面PBC． 所以?DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分 在Rt△PAD中，因为PD?所以AP?PD?AD22DN BC
3，AD?1，
??3?2?1?2．………………………………………………………11分因为
2DM∥AP，所以
DMAP?CDCA，即
DM2?34，所以DM?3，
32．………………………………12分
由（1）知BD?3，PB?3?66，且PD?362所以DN?PD?BDPB??．……………………………………………………………13分
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