2 矩阵
矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!
2.1 知识要点解析
2.1.1 矩阵的概念
1．矩阵的定义
由m×n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)组成的m行n列的矩形数表
?a11??a A??21???a?m1a12a22?am2?a1n???a2n? ????amn??称为m×n矩阵，记为A?(aij)m?n 2．特殊矩阵
（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；
（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）
三角阵；
（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；
（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设A?(aij)mn;B?(bij)mn
若 aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)，则称A与B相等，记为A=B。
2.1.2 矩阵的运算
1．加法
（1）定义：设A?(Aij)mn,B?(bij)mn，则C?A?B?(aij?bij)mn （2）运算规律
① A+B=B+A； ③ A+O=A
②（A+B）+C=A+（B+C）
④ A+（-A）=0， –A是A的负矩阵
2．数与矩阵的乘法
（1）定义：设A?(aij)mn,k为常数，则kA?(kaij)mn （2）运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② (K+L)A=KA+LA,
③ (KL) A= K (LA)
3．矩阵的乘法
（1）定义：设A?(aij)mn,B?(bij)np.则
AB?C?(Cij)mp,其中Cij??ak?1nikbkj
（2）运算规律
①(AB)C?A(BC)；②A(B?C)?AB?AC ③(B?C)A?BA?CA （3）方阵的幂
①定义：A?(aij)n，则Ak?A?A
K②运算规律：Am?An?Am?n；(Am)n?Amn （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
①AB?BA
②AB?0,不能推出A?0或B?0;
③(AB)k?Ak?Bk 4．矩阵的转置
（1）定义：设矩阵A=(aij)mn，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A
的转置，记为AT?(aji)nm，
（2）运算规律
①(AT)T?A; ③(kA)T?KAT;
②(A?B)T?AT?BT； ④(AB)T?BTAT。
（3）对称矩阵与反对称矩阵
若AT?A,则称A为对称阵；
AT??A，则称A为反对称阵。
5．逆矩阵
（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，
则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作B?A?1。
（2）A可逆的元素条件：
A可逆?A?0
（3）可逆阵的性质
①若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1 =A； ②若A可逆，k≠0，则kA可逆，且(kA)?1?1?1A； k③若A可逆，则AT也可逆，且(AT)?1?(A?1)T； ④若A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB)?1?B?1A?1。 （4）伴随矩阵
①定义：A*?(Aij)Tn，其中Aij为aij的代数余子式， ②性质：
i）AA*?A*A?AE； iii）(A*)*?An?2
ii）A*?A
n?1；
A；
iv）若A可逆，则A*也可逆，且(A*)?1?(A?1)*?③用伴随矩阵求逆矩阵公式：A?1?2.1.3 方阵的行列式
1*A A1A A1．定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫
做方阵A的行列式，记为A或detA。
2．性质： （1）AT?A，
（2）kA?knA，
（3）AB?AB， （4）A?1?1 A3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵
(1) 单位阵E：E?1;E?1?E；
(2) 数量矩阵kE：kE?kn;当k?0时,(kE)?1?E (3)对角阵：
??1????????1k?2????,???n??*则???1?2??n;
?1???1??1若?1?2??n?0，则????????1?2????? ???1??n??4． 上（下）三角阵
?a11??设A?????a22????,则A?a11a22?ann ??ann??*若A?0，则A?1仍为上（下）三角阵
2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵
1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换
①交换两行（列）；
②某行（列）乘一个不为零的常数k；
③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。
2．初等矩阵
（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；
交换i ,j两行（列），记为E(i, j)；
第i行（列）乘以不为零的常数k记为E(i(k))；
第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i； （2）初等矩阵的性质
初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵； 而[E(ij)]?1?E(ij)?1?[E(i(k))]?1?E(i??)
?k?[E(j(k) i)]?1?E[j(?k) i]
（3）方阵A可逆与初等阵的关系
若方阵A可逆，则存在有限个初等阵P1,P2,?,Pt，使A?P1P2?Pt，
（4）初等阵的行列式
E(ij)??1,E(i(k))?k,E(j(k) i)?1
（5）初等阵的作用：
对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且
E(ij)A??A,E(i(k))A?kA,E(j(k) i)?A
3．矩阵的等价
（1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价， （2）A与B等价的三种等价说法，
①A经过一系列初等变换变到B；
②存在一些初等阵E1,?,Es,F1,?,Ft，使得Es?E1AF1?Ft?B ③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B
2.1.5 分块矩阵
1．分块矩阵的定义
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2．分块矩阵的运算
（1）设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有
?A11??A A??21???A?s1?A1t???A2t?????Ast???B11??BB??21???B?s1?B1t???B2t?
?????Bst??则