?2n??0从而An???0?0?n?2n?12n00003?6n?16n?10??0? n?1?9?6?3?6n?1??
2.2.2 矩阵的逆（逆矩阵）及其运用
1、设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，A?解：因为A*?AA?1?1?1A，所以811-1，计算（A）?8A* 831-11（A）?8A*?3A?1?A?1?2A?1?23?64。 3A易错提示：切记将2提出时应为2k，其中k为该矩阵的阶数。 2、已知矩阵A满足关系式A2?2A?3E?O，求?A?4E?。 解：因为O?A2?2A?3E??A+4E??A-2E?+8E-3E
1??2 ??A?4E??A-2E???5E??A?4E??E?A??E，
5??5-1 ??A?4E??-121E?A. 55思路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会变得容易多了。
3、设n阶可逆矩阵A???1,?2,????n?，?i为n维列向量（i=1,2,…n）, ?为n维非零列向量，且与?1,?2,????n?1均正交， 则B???1,?2,????n?1,??可逆。
解：要证明矩阵B可逆，我们这里只需要证明向量组?1,?2,????n?1,?线性无关
即可。
为此，我们令：
k1?1?k2?2?????k?0， n??1n??1kn? 两边同乘以?T，即
T k1?T??????k1?k2??2n?1T???1knT??0?， n?
?T?i?0，（i=1,2,…n-1）且?T??0
?kn?T??0
我们可以得出kn?0，那么即得：k1?T?1?k2?T?2?????kn?1?T?n?1?0， 又A是可逆矩阵，
? ?1,?2,????n?1线性无关。
从而我们有k1=k2=???=kn=0，即证明了?1,?2,????n?1,?线性无关， 同时也就说明了矩阵B???1,?2,????n?1,??是可逆矩阵。
思路提示：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少，这里我们不妨预先前所熟悉的线性方程组来建立联系。这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上，对于m?n矩阵A，我们可以把其每一列看作一列向量（记为?1,?2,????n），则A=（?1,?2,????n），这就很形象的转化为线性方程组问题了，而A=（?1,?2,????n）可逆?向量组?1,?2,????n线性无关。
4、设A为n阶实矩阵，若A+AT为正定矩阵，则A为可逆矩阵。 证明：用反证法
假设A为不可逆矩阵，
则?n维列向量X0?0，使得AX0?0，
T 而对于X0（A+AT）X0?X0TAX0?X0TATX0?X0T(AX0)?(AX0)TX0
=X0T0?0TX0?0，
T 从而我们知存在X0?0，使得X0（A?AT）X0?0，
但这与A+AT为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立，
这也就说明了A为可逆矩阵。
点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很
多时候反证法也未尝不是条光明道路。对于如何说明矩阵A是正定矩阵，我们应掌握以下几个等价定理：
(1)定义法（最基本，也较常用，本题就是利用次方法来证明出矛盾来的的）；
(2)来说明A的所有特征值全部都大于零；
(3)来说明A的所有顺序主子式都大于零（这种方法再给出具体的矩阵表
达形式时较常用）;
(4)存在可逆矩阵P，使得A=PTP; (5)存在正交矩阵S，使得A=S2;
??1?(6)存在正交矩阵Q，使得QTAQ?Q-1AQ=??0?0?? ?，?i?0(i?1,2,???n)。
?n??225、已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3，
(1)写出该二次型的矩阵表达式；
(2)用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性，并写出对应的正交矩阵。 解：
（1）f的矩阵表达式为
?02?2??x1????? f(x1,x2,x3)?(x1,x2,x3)?244??x2?；
??24?3??x????3?（2）由（1）得知该二次型的矩阵为
?02?2??? A??244?，
??24?3??? A的特征方程为
??22 ?E?A??2??4?4?(??1)(??6)(??6)=0， 2?4??3由此可得出A的特征值：?1?1，?2?6，?3??6，对应的特征向量为
?2???，?2= ?1=?0???1???1?1???????5，?=?3???1。? ?2??2?????对应的单位特征向量为：
?1??1??2?????306?5????????5??1? ?1??0，???，?2??3????。
6??1??30??????2??2???5???????30??6??2??5?因此可得正交矩阵 Q???1,?2,???3?0??1??5?11??306?51???， 306?22??306?那么对二次型f做正交变换X?QY，则该二次型就可以化为标准型
222 f(x1,x。,x)?y?6y?6y23123
点评：化二次行为标准形式二次型矩阵最常见的一种题型 ，在研究生入学考试中也是个重要的考察知识点，但题目一般难度不大，解答事业都有固定的模式，但它却要求我们必须仔细对待，切不可有所懈怠。 6、二次曲面S在空间直角坐标系中的方程为 x2?4y2?z2?4xy?8xz?4yz?1?0，
做直角坐标变换，把它化成标准方程，并且指出S是什么样的二次曲面？ 解：首先把方程左端的二次项部分
f(x,y,z)=x2?4y2?z2?4xy?8xz?4yz经正交变换化成标准型。而二次型矩阵A为
?1?2?4??? A=??24?2?，
??4?21??? （?）?5??5?25同时，根据上题知，我们可以找到正交矩阵T=??5????0??500???使得T-1AT??050?。于是我们做正交变换
?00?4????x??u?????y?T???v??z??w?????（?）
45152515?532??3?1??， 3?2??3??则，可以把原而次型（*）化成下述的标准型：
22 f(x,y,z)=25u+5v，- 4w因此，这里我们只需要做直角变换（?），原二次曲面在新坐标系中的方程是
22+52v-4?w1。 5u并且，由此方程我们可以看出，S是单叶双曲面。
点评：通过正交变换把二次曲面方程化为标准方程是矩阵在几何上的一个重要的应用；除此方法之外，有时我们还可以用配方法来代替正交变换法对二次曲面方程进行化简，坐标变换，从而得到其标准方程。