A?B?(Aij?Bij)(i?1,2,?,s;j?1,2,?,t)
（2）kA?(kAij)(i?1,2,?,s;j?1,2,?,t)
（3）设A?(aij)mn,B?(bij)np,分块成
?A11?A1t??? A???????A?A?st??s1?B11?B1r???B?????? ?B?B?tr??t1其中Ai1,Ai2,?,Ait的列数分别等于B1j,B2j,?,Btj的行数，则
AB?C?(cij)sr，其中cij??Ak?1tikBkj(i?1,2,3,?,s; j?1,2,?,r)
3．准对角阵 （1）定义：形如
?A1??A?????A2???? Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。 ??As??（2）准对角阵的行列式及逆矩阵
?A1??设A?????A2????，则A?A1A2?As；若每个Ai可逆，则A可??As??逆，且
?A1?1???????????
???1?As?A?1?1A2（3）特殊的准对角阵
?A1（i）A?????（ii）A???A?2?A1?1??1?，若A1, A2可逆，则A???A2????A1??1??，若A, A可逆，则A?12??A?1??1?? ?1?A2??1?A2? ??（iii）A????BD??是B?0,C?0,则A?BC?0 ??OC?且
?B?1A???0??1?B?1DC?1?? ?1?C?（iv）A????B0???,B?0,C?0，则 DC???B?10??A????C?1DB?1C?1?
???12.2 经典题型解析
2.2.1 矩阵的运算
?12? ????c115?21=?c????1c?2??22??3?1????1、若?21???1b则c= 解：由4?1?a?5得a=0, c11=4 而-1+2b+6=-1得b=-3, c22=-7
?45? 从而 c=??
??1?7? 提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。
122、设A为三阶矩阵，且A?4,则（A）?____.
21212?1?1 解：（A）?A???A2?
244?4?易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错
12（A）误就是对矩阵进行行列式计算时，把的阶数给忘记计算。 233、设A为3?3矩阵，B为4?4，且A?1则BA?___. ，B??2，解：BA?BA???2?1??8.
3易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时
BA?BA???2?1??2是我们常犯的错误。
34、设A??12k则?ATB??___. 3?，B??111?，k解：?ATB???ATB??ATB?????ATB??AT(BAT)(BAT)???(BAT)B
?1??? ?6k?1?2??11?3????111??222??6k?1???. ?333????1???易错提示：本题关键是要求我们注意到ATB是矩阵，但BAT=?111??2?=6?3???却是数，
?111??111?????倘若先计算ATB??222?，然后再求?222?，则计算式相当繁琐的。
?333??333?????k?101?n??5、设A??010?，求?A?.
?001???解：
方法一：数学归纳法.
?101??102????? 因为A??010?，A2?AA??010?，
?001??001??????103???A3?A2A??010?，
?001????10n?1??? 一般的，设An-1??010?，
?001???则An?An?1?10n?1??101??10n???????A??010??010???010?.
?001??001??001????????10n???所以，有归纳法知An??010?。
?001???n个A方法二：因为A是初等矩阵，An?EAA???A，相当于对单位矩阵
?100???E=?010?，施行了n次初等列变换（把第一列加到第三列），故?001????10n???An??010?。
?001???方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。
?101??100??0????? 令 A=?010???010???0?001??001??0??????0?其中B??0?0?0001??0?， 0??01??0??00??000????001??0??00???0?00???00000??0?，所以Bk?O(k?2)。 0??01??00??E?B， 00???0?又因为B2??0?0??10n???故有 An?En?nEn?1B?E?nB??010?.
?001???提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算，方法也算不少，读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。
?308???6、设矩阵A??316?，求A100?2A50。
??205?????30?8解：A的特征多项式f(?)??E?A??3??1?6?(??1)(??1)2，
20??5则f(?)有根1，-1（二重）。
若设g(?)=?100?2?50，那么所求A100?2A50?g(A)， 而
dg(?)?100??100?49， d?由代数学中的整除性质，?q(?),st g(?)=q(?)f(?)?a?2?b??c，
??-1=1100-2?150=g(1)=q(1)f(1)?a?b?c?a?b?c，?100502-1）?q(-1)f(?1)?a?b?c?a?b?c， ?-1=（-1）?（?dg(?)?0=-100+100=（???1）??2a?b,d??解之得：a=b=0,c=-1。
所以，g(?)=q(?)f(?)?1，从而A100?2A50?g(A)=q(A)f(A)?E??E。 点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会贯通的能力。所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习惯。
?2??07、设A??0??0?120000310??0?，求An。 ?9?3??解：由分块矩阵知A????B0??21??39??????，其中， B?C???????0C??02??13?n?Bn∴ A???0?0?? n?C?又 B???02?????00???2E?P
????∴ Bn??2E?P?n?(2E)n?n(2E)n?1P
?2n ???0?n2n?1?? n?2?n?20??01??39??39?n?1?39?????而?的秩为1，有?6?13??13??13??
??????