y?0 ??????6分
当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y?kx
?x22??y?1所以?3，化简得(3k2?1)x2?3
?y?kx?333k2?32?所以 |x1|?，则|AO|?1?k ??????8
3k2?13k2?13k2?1分
设
1AB的垂直平分线为y??xk，它与直线l:x?y?3?0的交点记为
P(x0,y0)
3k??y??x?3x????0k?1所以?y??1x，解得?, ?3??y?k??0k?1?则
9k2?9|PO|?(k?1)2 ??????1
0分
因为?PAB为等边三角形， 所以应有|PO|?9k2?93k2?3?3代入得到|(k?1)23k2?13|AO|
，解得k?0（舍），k??1?????13
分
此时直线AB的方程为y??x 综
上
，
直
线
AB的方程为
y??x或
y?0 ??????14分
20.解：（I） 法1：
123?712371237改变第4列改变第2行?????????????2101?210?12?101
法2：
123?7123?71237改变第2行改变第4列?????????????21012?10?12?101
法3：
改变第1列改变第4列??????? ?2101????? 2101210?1123?7?123?7?1237（写出一种即可）???????3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0，?2，0，每一行所有数之和分别为?1，1;
①如果操作第三列，则
aa2?1a?a22?a1?a22?aa2
则第一行之和为2a?1，第二行之和为5?2a，
?2a?1?0 ?5?2a?0,解得
?a?1,a?2. ???????6分
② 如果操作第一行
?a1?a2aa22?a1?a2a?2a2
则每一列之和分别为2?2a，2?2a2，2a?2，2a2 解得
a?1 ???????9
分
综上
a?1 ?????
??10分
(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得
数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1?(?1)?2，但是每次操作都只
是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn
个数之和必然小于等于??|aij|，可见其增加的趋势必在有限次之后
i?1j?1mn终止,终止
之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 ???????13分