(1)若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a?3,b??9时,求函数f(x)?g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+?)上的函数f(x)?ax?1?b(a?0) ax(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(II)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?
3x,求a,b的值. 2
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案
一、选择题 1. 【答案】:C
【解析】:由函数f(x)在x??2处取得极小值可知x??2,f?(x)?0,则
xf?(x)?0;x??2,f?(x)?0则?2?x?0时xf?(x)?0,x?0时xf?(x)?0
【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A
【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.
【解析】若ea?2a?eb?3b,必有ea?2a?eb?2b.构造函数:f?x??ex?2x,则f??x??ex?2?0恒成立,故有函数f?x??ex?2x在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除.
3. 解析:f?(x)?x?21??x?2x<2f(x)??lnx为减函数;x>2f(x)?0,f(x)?0,令得,时,,
x2x1时,f?(x)?0,f(x)??lnx为增函数,所以x?2为f(x)的极小值点,选D.
x
4. 解析:设F(x)?x3?bx2?1,则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解,故其有且仅有两个不同零点x1,x2.由
222F?(x)?0得x?0或x?b.这样,必须且只须F(0)?0或F(b)?0,因为F(0)?1,故必有F(b)?0由
333此得b?33223,比较系数得?x134?1,故2)2.不妨设x1?x2,则x2?b?32.所以F(x)?(x?x1)(x?2311x?x11B. x1??32.x1?x2?32?0,由此知y1?y2???12?0,故答案应选y x1x2x1x222另解:令f(x)?g(x)可得设y??1??x?b. 2x1,y????x?b 2xy????x?b 不妨设x1?x2,结合图形可知,x1?x2, 即0??x1?x2,此时x1?x2?0,y2?5. 【答案】B
x1x x 11????y1,即y1?y2?0.答案应选B. x2x1【解析】?y?121x?lnx,?y??x?,由y?≤0，解得-1≤x≤1,又x?0,?0?x≤1,故选B 2x【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.
6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面
积分别为S3,S4,
则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=?(2a)??a①,
而S1+S3 与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S3 +S2+S3??a②. ①-②
得
S3=S4,
由
图
可
知
21422S3=(S扇形EOD?S扇形COD)?S正方形OEDC?12?a?a2,所以. 2S阴影??a2?2a2.
由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=
S阴影S扇形OAB?a2?2a22. ??1??a2?【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙
地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C
【解析】?f(0)??abc,f(1)?4?abc,f(3)?27?54?27?abc??abc?f(0),
又f?(x)?3(x?1)(x?3),所以f(x)在(??,1)和(3,??)上单调增加,在(1,3)上单调递减,故
a?1?b?3?c,?f(0)f(1)?0,f(0)f(3)?0
【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.
二、填空题
0?x?1?2x,28. [解析] 如图1,f(x)??, 12?2x,?x?12?1 A (O) y B C 1 x P O y M N x D 1 图2
?2x2,0?x?12所以y?xf(x)??, 21??2x?2x,2?x?1
图1
易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=1?1?229. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.
14.
【解析】∵y??3lnx?4,∴切线斜率为4,则切线方程为:4x?y?3?0.
三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)
134(Ⅱ) 2727
【解析】::(Ⅰ)因f(x)?ax3?bx?c 故f?(x)?3ax2?b 由于f(x) 在点x?2 处取得极值
?f?(2)?0?12a?b?0?12a?b?0?a?1故有?即? ,化简得?解得?
f(2)?c?168a?2b?c?c?164a?b??8b??12????(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)?x3?12x?c,f?(x)?3x2?12
令f?(x)?0 ,得x1??2,x2?2当x?(??,?2)时,f?(x)?0故f(x)在(??,?2)上为增函数; 当x?(?2,2) 时,f?(x)?0 故f(x)在(?2,2) 上为减函数 当x?(2,??) 时f?(x)?0 ,故f(x)在(2,??) 上为增函数.
由此可知f(x) 在x1??2 处取得极大值f(?2)?16?c,f(x) 在x2?2 处取得极小值
f(2)?c?16f(?由题设条件知
1?c6? 得
c?12此时
3?)c?9?f2,f(2)1?c?c??16???4因此?f(x) 上[?3,3]的最小值为f(2)??4
【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数f(x)进行求导,根据f?(2)?0=0,f(2)?c?16,求出a,b的值.(1)根据函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值. 11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值
不等式考查了学生的综合分析问题的能力.
【解析】(1)由题意得f?(x)?12x?2a,
当a?0时,f?(x)?0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为???,???.
2?aa?aa当a?0时,f?(x)?12(x?)(x?),此时函数f(x)的单调递增区间为??,?.
6666??33(2)由于0?x?1,当a?2时,f(x)?a?2?4x?2ax?2?4x?4x?2. 333当a?2时,f(x)?a?2?4x?2a(1?x)?2?4x?4(1?x)?2?4x?4x?2.
设g(x)?2x3?2x?1,0?x?1,则g?(x)?6x?2?6(x?则有 x 233)(x?). 33?3???3,1?? ??+ 增 1 0 ?3?0,??3?? ??- 减 3 30 极小值 g?(x) g(x) 1 1 所以g(x)min?g(343)?1??0. 393当0?x?1时,2x?2x?1?0.
故f(x)?a?2?4x?4x?2?0.
12.解:(1)
3f?(x)?x2?(1?a)x?a?(x?1)(x?a),由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?0