13.
1?lnx?k1?kx?14.解:(I)f?(x)?,由已知,f(1)??0,∴k?1.
exe1?lnx?1x(II)由(I)知,f?(x)?.
ex111?lnx?1,则k?(x)??2??0,即k(x)在(0,??)上是减函数, xxx由k(1)?0知,当0?x?1时k(x)?0,从而f?(x)?0, 当x?1时k(x)?0,从而f?(x)?0.
综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,??). 设k(x)?(III)证明:由(II)可知,当x?1时,g(x)?xf?(x)≤0<1+e?2,故只需证明g(x)?1?e?2在0?x?1时成立.
1?xlnx?x?1?xlnx?x. xe设F(x)?1?xlnx?x,x?(0,1),则F?(x)??(lnx?2), 当0?x?1时,ex>1,且g(x)?0,∴g(x)?当x?(0,e?2)时,F?(x)?0,当x?(e?2,1)时,F?(x)?0, 所以当x?e?2时,F(x)取得最大值F(e?2)?1?e?2. 所以g(x)?F(x)?1?e?2. 综上,对任意x?0,g(x)?1?e?2.
另证:因为g(x)?xf?(x)?1(1?x?xlnx),(x?0), xe设h(x)?1?x?xlnx,则h?(x)??lnx?2,令h?(x)??lnx?2?0,x?e?2,
当x?(0,e?2)时h?(x)?0,h(x)单调递增;当x?(e?2,??)时h?(x)?0,h(x)单调递减.所以当x?0时,h(x)?h(e?2)?1?e?2,
1?1, ex1?2所以当x?0时g(x)?x(1?x?xlnx)?1?e,综上可知结论成立.
e而当x?0时0?15. 【答案与解析】
【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大.
16. (Ⅰ) 解:
f?x?的定义域为R,f??x??ex?a;