若a?0,则f??x??0恒成立,所以f?x?在R总是增函数
若a?0,令f??x??0,求得x?lna,所以f?x?的单增区间是?lna,???; 令f??x??0, 求得 x?lna,所以f?x?的单减区间是???,lna?
?a?1x?(Ⅱ) 把? 代入得:????x?kfx?x?1?0???x?ke?1??x?1?0, x?f??x??e?ax因为x?0,所以e?1?0,所以:?x?k?ex?1??x?1,x?k????x?1, ex?1k?x?x?1x?1k??x,所以:xxe?1e?1(x?0)?(*)
x?1exex?x?2x?x,则g??x??令g?x??x,由(Ⅰ)知:??hx?e?x?2在?0,??? 2xe?1e?1??????单调递增,而??h?1??0 ,所以h?x?在?0,???上存在唯一零点?,且???1,2?;
?h?2??0故g??x?在?0,???上也存在唯一零点且为?,当x??0,??时, g??x??0,当x???,???时,g??x??0,所以在?0,???上,g?x?min?g???;由g?????0得:e???2,所以g??????1,
?所以g?????2,3?,
由于(*)式等价于k?g???,所以整数的最大值为2
17.
【解析】(1)由
f(0)?c?1,
f(1)?0?c?1,a?b??1,则
f(x)?[ax2?(a?1)x?1]ex,f'(x)?(ax2?(a?1)x?a)ex,依题意须对于任意x?(0,1),有f?(x)?0,
2当a?0时,因为二次函数y?ax?(a?1)x?的a图像开口向上,而f?(0)??a?0,所以须2xf?(1)?a(?1)e?,0即0?a?1,当a?1时,对任意x?(0,1),有f?(x)?(x?1)e?0,符合条件;当
a?0时,对任意x?(0,1),f?(x)??xex?0,f(x)符合要求,当a?0时,因f?(0)?a?0,f(x)不符
合条件,故a的取值范围为0?a?1.
(2)因g(x)?(?2ax?1)e,g?(x)?(?2ax?1?a)e
xx
当a?0时,g?(x)?ex?0,g(x)在x?0上取得最小值g(0)?1,在x?1上取得最大值g(1)?e; 当a?1时,对于任意x?(0,1),有g?(x)??2xex?0,g(x)在x?0上取得最大值g(0)?2,在x?1上取得最小值g(1)?0; [来源:www.shulihua.net] 当0?a?1时,由g?(x)?0?x?1?a?0, 2a
18. 【解析】解:
f?(x)?ex?a,令f?(x)?0得x?lna. [来源:www.shulihua.net]
当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递减;当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递增,故当x?lna时,f(x)取最小值f(lna)?a?alna.
于是对一切x?R,f(x)?1恒成立,当且仅当
a?alna?1. ①
令g(t)?t?tlnt,则g?(t)??lnt.
当0?t?1时,g?(t)?0,g(t)单调递增;当t?1时,g?(t)?0,g(t)单调递减. 故当t?1时,g(t)取最大值g(1)?1.因此,当且仅当a?1时,①式成立. 综上所述,a的取值集合为?1?.
f(x2)?f(x1)ex2?ex1(Ⅱ)由题意知,k???a.
x2?x1x2?x1
ex2?ex1令?(x)?f?(x)?k?e?,则
x2?x1xex1x2?x1??(x1)??e?(x2?x1)?1?, ??x2?x1ex2x1?x2??(x2)?e?(x1?x2)?1?. ??x2?x1令F(t)?et?t?1,则F?(t)?et?1.
当t?0时,F?(t)?0,F(t)单调递减;当t?0时,F?(t)?0,F(t)单调递增.
t故当t?0,F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0.
从而ex2?x1?(x2?x1)?1?0,ex1?x2ex1ex2?0,?0, ?(x1?x2)?1?0,又
x2?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0.
因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
x0?(x1,x2)使?(x0)?0,即f?(x0)?k成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值f(lna)?a?alna.对一切x∈R,f(x) ?1恒成立转化为f(x)min?1从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判
断.
19. 【解析】(1)因为f(1)?b,由点(1,b)在x?y?1上,可得1?b?1?b?0
因为f?(x)?axn?1?a(n?1)xn,所以f?(1)??a
又因为切线x?y?1的斜率为?1,所以?a??1?a?1,所以a?1,b?0
n?x) n?1nn令f?(x)?0?x?,即f?(x)在(0,??)上有唯一的零点x0?.
n?1n?1(2)由(1)可知,f(x)?x(1?x)?x?xnnn?1,f?(x)?(n?1)xn?1(
在(0,nn)上,f?(x)?0,故f(x)单调递增;而在(,??)上,f?(x)?0,f(x)单调递减, [来n?1n?1源:www.shulihua.net]
nnnnnn故f(x)在(0,??)的最大值为f(. )?()(1?)?n?1n?1n?1(n?1)n?1(3)令?(t)?lnt?1?(t?0),则??(t)??1t11t?1(t?0) 22ttt在(0,1)上,??(t)?0,故?(t)单调递减,而在(1,??)上,??(t)?0,?(t)单调递增, 故?(t)在(0,??)上的最小值为?(1)?0,所以?(t)?0(t?1) 即lnt?1?(t?1),令t?1?1t1n?11n?1n?1?)?lne ,得ln,即ln(nnn?1nn?1n?1nn1)?e,即所以( ?n(n?1)n?1nenn1由(2)知,f(x)?,故所证不等式成立. ?n?1(n?1)ne【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证
明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有e,lnx等的函数求导的运算及其应用考查.
20.解析:(Ⅰ)考虑不等式2x2?3?1?a?x?6a?0的解.
x因为?????3?1?a????4?2?6a?3?a?3??3a?1?,且a?1,所以可分以下三种情况: ①当?a?1时,??0,此时B?R,D?A??0,???.
2131时,??0,此时B??xx?1?,D??0,1???1,???. 31③当a?时,??0,此时2x2?3?a0两根,设为x1、x2,且x1?x2,则?1?x?6a?有
3②当a?x1?3?1?a??3?a?3??3a?1?4,x2?3?1?a??3?a?3??3a?1?4,于是
B??xx?x1或x?x2?.
当0?a?31时,x1?x2??1?a??0,x1x2?3a?0,所以x2?x1?0,此时D??0,x1???x2,???;当a?023时,x1x2?3a?0,所以x1?0,x2?0,此时D??x2,???. 综上所述,当时
,
111?a?1时,D?A??0,???;当a?时,D??0,1???1,???;当0?a?333;
当
a?0D??0,x1???x2,?????4a??3??时,
D??x2,???.其中
x1?3??a1?3a3?1??3a??31?a?3??3a?1?,x2?.
4(Ⅱ)f??x??6x2?6?1?a?x?6a,令f??x??0可得?x?a??x?1??0.因为a?1,所以f??x??0有两根
m1?a和m2?1,且m1?m2.
①当?a?1时,D?A??0,???,此时f??x??0在D内有两根m1?a和m2?1,列表可得
13x f??x? f?x? ?0,a? + 递增 a 0 极小值 ?a,1? - 递减 1 0 极大值 ?1,??? + 递增 所以f?x?在D内有极大值点1,极小值点a. ②当a?11时,D??0,1???1,???,此时f??x??0在D内只有一根m1?a?,列表可得 33?1??0,? ?3?+ 递增 x f??x? f?x? 1 30 极小值 ?1??,1? ?3?- 递减 ?1,??? + 递增 所以f?x?在D内只有极小值点a,没有极大值点. ③当0?a?1时,D??0,x1???x2,???,此时0?a?x1?1?x2(可用分析法证明),于是f??x??0在D内3只有一根m1?a,列表可得