t 与 f 互换即可得
x??f???证毕。
特殊情况,当x?t?为偶函数时，
????X(t)e?j2?ftdt
即 X?t??x??f?
FTX?t????x?f?
2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：
g?t??且已知
?at2 21?tx(t)?eFT???X(f)?2aa??2?f?22
解：当a=2?，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2?，根据傅里叶变逆换有
e?2?t????2?2????2??2??2?f?22?e?2?tej2?ftdf?12?2j2?fte???1?f2df
??等式两端同时乘以2?，并用-t替代变量t得
??2?j2?ftedt
??1?f2??交换变量t和f得
2?e上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以
?2?f??2?j2?ftedt
??1?t2??g(t)?
2-15．所示信号的频谱
2?2?FT???G(f)?2?e21?tf
x(t)?1x1(t?2.5)?x2(t?2.5) 2 式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。
解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为
X1(f)?sin?fsin3?f 和X2(f)??f?f根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：
X(f)?e
x(t)?j5?f?1??2sin?f?sin3??
?f??tx2(t)x1(t)tt
图2-31
2-16．求信号x(t)的傅里叶变换
x(t)?e解：由例2-16已知 e?at?ata?0
1
a?j2?f?atat注意到x(t)为实偶函数， t >0 时x(t)?eu(t)，t<0 时x(t)?eu(?t)，所以
x(t)?e?atu(t)?eatu(?t)，根据线性叠加特性
FTu(t)???X(f)?Fe?atu(t)?Featu(?t)
FT又根据时间比例特性有x??t????X??f?，所以
1FTeatu(?t)???
a?j2?f最后得
????112a??2
a?j2?fa?j2?fa??2?f?2在实际应用中，一般a为?0的实数
1?f?FT 则 x?at????X??
a?a?X(f)?
2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换
?1,x(t)???0,解：由例可知x(t)的傅里叶变换为
t?T1 t?T1X(f)?2T1sinc2?fT1
根据傅里叶变换的比例特性可得
如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,
Fx(0.5t)??F?x(2t)??1f??2T1sinc?2?T1??4T1sinc?4?fT1?0.50.5??1f??2T1sinc?2?T1??T1sinc??fT1?22??这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间
尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。
2Tx(t/2)1a=0.5-1/2T1/2T-Tx(t/2)Tta=1.0-1/Tf1T1/T-T/2T/2x(t/2)t1 f1a=2.0-2/TT/21 2/T-T/4T/4tf
题图2-17 时间尺度展缩特性示意图
2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数
解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：
3T??T?1?T4??4Rxy(?)????1?sin?tdt??T1?sin?tdt??3T?1?sin?tdt?????T?044?3T??T??1??T44?cos?t?cos?t?cos?t03TT????4?4?T?????12??????3??????3??? cos????1?cos????cos????1?cos?????????????2222??????????1?4sin??2?2?sin??
?2-19．求信号x(t)?e?atu(t)的自相关函数。 解：由定义
Rx(?)?????x(t)x(t??)dt??e?atu(t)e?a(t??)u(t??)dt??????
?e?a??e?2atu(t)u(t??)dt其中积分的被积函数的非零区间为t?0与t???0的交集，即t?max(因此，当??00,??)。时，上式为
Rx(?)?e当??0时，则有
??a???0e?2atdt?e?at?(1?2at?1?ate)0?e ?2a2aRx(?)?e综合有
?a????e?2atdt?e?a??(1?2at?12a?1a?e)???e?a?(0?e)?e ?2a?2a2aRx(?)?
1?a? e2a2-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。 （1）f(t)?asint （30）
53t?（2）f(t)?asint?bcost （12?）
633?8（3）f(t)?asin(t?) （?）
433（4）f(t)?acos(?t?bcos??4t??5) （8）
2-21．如图所示，有N?2n?1个脉宽为?的单位矩形脉冲等间隔（间隔为T??）地分布在原点两侧，设这个信号为x(t)，求其FT。
解：由题意，
x(t)?m??n?xn0(t?mT)
其中x0(t)?G?(t)，其FT为X0(?)??sinc(??2)。根据FT的时移特性，可以求得
ejm?T?e?j(n?1)?T?n?jm?T?X(?)?X0(?)??e??X0(?)?1?e?j?T?m??n?ej?T/2(ejN?T/2?e?jN?T/2)?X0(?)??j?T/2j?T/2e(e?e?j?T/2)(ejN?T/2?e?jN?T/2)?X0(?)?(ej?T/2?e?j?T/2)N?Tsin()2?X0(?)??Tsin()2下面分析一下所求的结果。
N?T)2m?2当??时，由罗彼塔法则可以求得?N，因此X(?)?NX0(?)，是单
?TTsin()22m?个矩形脉冲频谱X0(?)的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当??（m不
NTN?Tsin()2是N的倍数）时，。 ?0，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）?Tsin()2sin(可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点
2m?处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当N??时，时域信号变成了周期矩形脉T2m?冲信号，而频域则变成了只在离散点??处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成
T??了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。
2-22．“时域相关性定理”可描述如下
F[Rxy(?)]?X(f)?Y(f)
试证明。
下面给出两种证明方法。 证明1：
??F[Rxy(?)]???x(t)?y*(t??)dt?e?j2?f?d?????????????x(t)??y*(t??)e?j2?f?d??dt???????????y*(t??)e?j2?f(??t)d(??t)?dt?e?j2?ft ??x(t)??????????????????x(t)e?j2?f?dt???y*(?(??t))e?j2?f(??t)d(??t)??????????X(f)?Y*(f)?这里利用式：F[y*(?t)]?Y*(f)，是FT的“反褶共轭”性质。 证明2：
根据相关运算与卷积运算之间的关系
Rxy(?)?x(?t)?y(t)
利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。
在式中，令x?y，则可得
自相关的傅里叶变换
F[Rx(?)]?X(f)?X*(f)?X(f)
式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。
利用FT的奇偶虚实性，若y(t)是实偶函数，那么Y(f)也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，
2F[Rxy(?)]?X(f)?Y*(f)?X(f)?Y(f)
即当y(t)是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。 2-24．帕斯瓦尔定理
?证明：
???x(t)dt??2???2X(f)df
????f(t)dt??2????x(t)x*(t)dt*????x(t)?X(f)ej2?ftdf?dt??????????*?j2?ft??x(t)??X(f)edf???dt?????????*???X(f)???x(t)e?j2?ftdt??df??????(IFT定义)
(交换积分次序)(FT定义)????
??????X*(f)X(f)dfX(f)df2