c1c3?ckc1p0c2e?m X?x1 题图 8-6 题图 8-7 8-5解：当浮标在垂直方向（例如向下）移动?x大小时产生等于 (?d4/4)??x 的附加推力。运动微分方程可表示为：
??(?d?m??x14?(l32/l1)?c?x(l22/l1)?0 /4)??xl1?m2??x2222?于是，固有振动频率
p?(?d2?/4?cl2/l1)/(m1?m2l3/l1)
8-6 在非接触的位移（或间隙）测量仪器中，常常利用有皱纹的圆筒—波纹管作为增张器（放
大器），波纹管中内部压力的微小变化将引起它的长度有相对大的改变，图示为用于自动检验零件椭圆度的波纹管变换器简图。质量为m的圆筒4悬挂在仪器外壳1中刚度为c 1的平板弹簧2上，圆筒4同刚度为c 2的波纹管5刚性连接，波纹管中的压力由导管6供给。预紧力f0和仪器的调节用刚度为c 3的弹簧7实现，当被检验的尺寸超出允许范围时，触点8
CVRR1C1幅频特性曲线 负载传感器幅频特性曲线 题图 8-8 题图 8-10
中的一个发生闭合并产生挑出废品的信号。在把零件送往检验时，为了减小仪器振动衰减的时间，在测量系统中引入粘滞摩擦阻尼器3，阻尼器的阻尼力与移动速度成比例，即F=αx。设波纹管中压力的变化与测量端和零件之间间隙的变化成比例，即Δp/p0=（e/δ）Asinωt，式中e—偏离圆柱形状的振幅，δ—零件和顶端之间的间隙，ω—零件的角速度，A—系数。试作出仪器的振幅—频率特性曲线，并求测量动态误差不超过被测量值±10%的角速度ω的范围（也即这样的范围，在该范围内，质量4振动的振幅与静偏离的差不大于10%）。
8-6解：圆筒4的运动微分方程具有形式
，
???x??(c1?c2?c3)x??pFm?x （a）
???2nx??p02x?Bsinx?t （b）
或者
式中 2n??/m?75/c
B?p0eAF/(m?)?1.2?102M/c2
静偏离 xcT?B/K0?3.42MM 圆筒振动频率和振幅的关系具有形式
222 x0/xcT?(1??/p0)?(2n?/p0)p0?(c1?c2?c3)/m?3.5?104c?2
22?22??1/2
在所研究的情况
2n/p0?75/3.5?104?0.4
或者 x0/xcT?(1??/p0)?(0.4?/p0)?222?1/2?
这函数的曲线表示在图上（曲线2）
在那表示出了测量动力误差的允许范围（线阴影部分）其方程表示为
x0/xcT?1?0.1
允许范围和振幅——频率特性曲线的相交点给出被检验零件角速度的最大许可值
?max?p02/3?62.5c?1
8-7解：是基于Xe＝X－Xr 因为X是绝对运动，Xr是相对运动，而Xe是牵连运动，有
x＝Xsin?t, xr=Xrsin?t, xe?Xesin?t
x?xe?xr 即Xsin?t=Xesin?t+Xrsin?t
故X=Xe+Xr
Xe＝X－Xr因为矢量式才正确，若仅从标量关系出发则将得出错误结果，因它们之间
存在着相位差。
8-8 某测振仪器的频响曲线如图所示，问可否用该仪器来进行振动测量，为什么？又，在振动
测量中，能够正确反映或记录简谐振动的传感器，是否就一定能正确反映或记录一般的周期振动，为什么？
8-8解：有所得试验波形应进行波形修正反演处理。因从频响曲线知该仪器所测波形不满足不失真测量的两个条件。即各次谐波的幅值放大同样的倍数和各次谐波的相位正比于各次谐波的频率。为此，需对所测波形进行频谱分析，分出它的各个组成频率分量，然后由测式系统的频响曲线（幅频特性和相频特性）的各对应值进行修正，最后再把各修正后的分频波形合成器来即可得出相应的真实波形。 即 实测波形 x(t)?修正反演后的波形 x(t)??Asin?t
iii?1345A1sin(?t?1200)?A2sin(2?t?450)?A3sin(3?t?150) 36又，一定能。这是基于波形的付氏基数分解和叠加原理而确定的。
8-9 当用共振法测定阻尼系统的固有频率，且用压电式加速度计进行拾振时，是否所测得的加
速度共振频率就是该系统的固有频率，为什么？
8-9解：通常所说的共振，是指当激振频率到达某一特定值时，振动量的幅值达到极大值的现象。但从以上分析可以看出，振动位移、速度、加速度响应的幅值，其各自到达极大值时的频率是各不相同的。一般情况下，共振频率并非就是固有频率。只有在弱阻尼条件下，三种共振频率以及有阻尼自由振动频率才接近于系统的固有频率。但是，只有速度共振频率才真正与系统的固有频率相等。加速度幅值为
?B?2?FM??222F?1M??
加速度幅值的极值条件为
2n??2???2n???2??2n??2???2n??22
???n1?2?2??n1?2?2
二者不相等，可见加速度共振频率不是该系统的固有频率。
8-10压电式加速度传感器有一Re—Ce负载，跨接如图所示。传感器的等效电路由电容C串接一
电压源V=q/C 。式中q为传感器中所产生的电荷，R为传感器的漏电阻。当V1=V0时，q从静止起有一量值为Q的阶跃变化。求从阶跃变化开始时的V1（t）。（可用拉普拉斯变换法进行求解）
8-10解：设i为电容C的电流,则各电流相加有
U1U1dU1 ??C1RR1dtdU11t1tUU又 U??idt?U1??(1?1?C1)dt?U1
00CCRR1dt11t q?UC?(?)?U1dt?C1U1?CU1?K
RR10式中K为积分常数，当ｔ＝０时考虑方程的值即可求得 0?0?C1U0?CU0?K K??(C1?C)U0
11t故 q?(?)U1dt?(C1?C)U1?(C1?C)U0
RR1?0将上列方程进行拉氏变换并考虑到当U1?U0时q从零起有一量值为Q的阶跃变化
(C?C)U0Q11V(s) ?(?)1?(C1?C)V1(s)?1SRR1SS(C1?C)U0?Q(C1?C)U0?Q整理后得 V1(s)? ?11??(C1?C)S?(?)(C1?C)?S?(1/R?1/R1?RR1C1?C??i?利用拉氏反变换即得
U1(t)?[U0?Q/(C1?C)]exp???(R1?R)t??
(C?C)RR11??
第九章习题解
9.1求证式（9-17）。 证明： 式(9-17) 如下：
1??L?10lg???L?L?10?1?10ptpe?? ?表示分贝减量?L是总声压级Lpt和背景噪声声压级Lpe之差的函数，从总声压级中扣除此分贝减量就得到声源声压级Lpso
Lpso?Lpt??L
?L?Lpt?Lpso
2pt2psopt2pt2?pe2 ?10lg2?10lg2?10lg2?10lg 2p0p0p0p0pt2 ?10lg2?10lg2pt?pe1 (1) pe21?2ptpe2pe2pt2? 10lg2?10lg2?10lg2?Lpe?Lpt
p0p0ptpe2??L?L?10? 2?10ptpe（这是将两均方声压和它们的声压级联系在一起的重要关系式） (2)
pt 将式(2)代入式(1)，就得到公式(9-17) ?L?10lg?9.2 声场中某点的瞬时声压为
p?t??A1sin?100?t??A2cos?400?t??A3sin?2000?t?
式中 A1?2Pa，A2?1.2Pa，A3?1Pa。求该点的均方声压p2，声压p，声压级Lp，A声级LA。
解：正弦信号的有效值是其峰值的2??1?10?Lpt?Lpe10?1??? ?2
? A1?2Pa ? p1?2Pa, p12?2Pa
222? A2?1.2Pa ? p2?0.62Pa, p2?0.72Pa
? A3?1Pa ? p3?222?0.5Pa Pa, p32222测点的均方声压为 p2?p1?p2?p3?3.22 Pa
2声压为 p?3.22?1.794 Pa
p23.22声压级为 Lp?10lg2?10lgp02?10?5??2?99.1 dB
三个不同频率声波的声压级分别为 Lp1?10lg Lp2?10lg Lp3?10lg2?2?10?0.72?52?52?97 dB ?92.6 dB ?91 dB
?2?10?0.5?2?10??52将这三个声压级合成也可以得到声场该点的声压级
Lp?10lg10?9.7?109.26?109.1?99.1 dB
?三个声波的频率分别是50、200和1000Hz ，由教科书的图9-7，A计权网络在这些频率处的衰减量分别为-30、-11和0dB，所以
LA1?97?30?67 dB(A)