第三章 习题及题解
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试说明二阶装置的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原因
答： 二阶系统的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原
因，可以从两个主要方面来分析，首先，根据系统不失真传递信号的条件，系统应具有平直的幅频特性和具有负斜率的线性的相频特性，右图所示为二阶系统的幅频特性和相频特性曲线，严格说来，二阶系统不满足上述条件，但在一定的范围内，近似有以上关系。在特性曲线中可以看出，当ω﹤0.3ωn时，ζ对幅频特性影响较小，φ(ω)－ω曲线接近直线。A(ω)在该范围内的变化不超过10％，可作为不失真的波形输出。在ω﹥(2.5～3.0)ωn范围内φ(ω)接近180?，且差值甚小，如在实际测量或数据处理中用减去固定相位差的方法，则可以接近不失真地恢复被测输入信号
A(?)543210?(?)0????????????????????????????????????1122??????-90?????????????????????????????????????33?????n?????n-180?二阶系统的幅频特性曲线和相频特性波形。若输入信号的频率范围在上述两者之间，由于系统的频率特性受ζ的影响较大，因而需作具体分析。分析表明，当ζ＝0.6～0.7时，在ω＝(0～0.58)ωn 的频率范围中，幅频特性A(ω)的变化不超过5％，此时的相频特性曲线也接近于直线，所产生的相位失真很小。
其次其他工作性能综合考虑，单位阶跃信号输入二阶系统时，其稳态输出的理论误差为零。阻尼比将影响超调量和振荡周期。ζ≥1，其阶跃输出将不会产生振荡，但需要经过较长时间才能达到稳态输出。ζ越大，输出接近稳态输出的时间越长。ζ﹤1时，系统的输出将产生振荡。ζ越小，超调量会越大，也会因振荡而使输出达到稳态输出的时间加长。显然，ζ存在一个比较合理的取值，ζ一般取值为0.6～0.7。
另外，在斜坡输入的情况下，ζ俞小，对斜坡输入响应的稳态误差2ζ/ωn 也俞小，但随着ζ的减小，超调量增大，回调时间加长，当ζ＝0.6～0.7时,有较好的响应特性。
综上所述，从系统不失真传递信号的条件和其他工作性能综合考虑，只有ζ＝0.6～0.7时，才可以获得最佳的综合特性。
2 试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别 （1）对象不同，前者对象是信号；后者的对象是系统；（2）前者反映信号的组成，后者反映系统对输入信号不同频率成分的幅值的缩放能力（3）定义不同：处理方法各异：前者是对信号付氏变换的模，后者是输出的付氏变换与输入的付氏变换之比的模
3 已知信号
x(t)=5sin10t+5cos(100t-π/4)+4sin(200t+π/6)，通过传递函数为
H(s)?1的测试系统，试确定输出信号的频率成分并绘出输出信号的幅值谱。
0.005s?1解： 将输入信号的各次谐波统一写成Xisin(ωit+φxi)的形式 x(t)=5sin10t+5sin(100t+π/4)+4sin(200t+π/6)
信号x(t)由三个简谐信号叠加而成，其频率、幅值、相位分别为
频率 ω1=10 ω2=100 ω3=200 幅值Xi A1=5 A2 =5 A3=4 相位φxi φx1=0 φx2=π/4 φx3=π/6 设输出信号为y(t)，根据频率保持特性，y(t)的频率成分应与x(t)的频率成分相同，各频率成分的幅值和相位可由输入信号的幅值和相位与测试系统频率响应特性H(ω)确定，根据题设条件，可得系统的频率响应函数 H(?)?系统的幅频特性
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0.005?j?11?(0.005?)? ?(?)??arctg0.005频率 ω1=10 ω2=100 ω3=200 A(?)?12
输出信号y(t)的频率、幅值、初相位分别为
幅值Yi= A (ωi) Xi Y1=4.99 Y2 =4.47 Y3=2.83 相位φyi=φ(ωi)+φxi φy1=－0.05 φy2=0.32 φy3=－0.26
绘出y(t)的幅值谱如右图。
?)Y(5432104080120160200?4 ω 在对某压力传感器进行校准时，得到一组输入输出的数据如下：
正行程平均值 反行程平均值 0.1 220.2 221.3 0.2 480.6 482.5 0.3 762.4 764.2 0.4 0.5 0.6 1532.8 1534.1 0.7 0.8 0.9 2211.6 2212.1 992.3 1264.5 993.9 1266.1 1782.5 2012.4 1784.1 2013.6 试计算该压力传感器的最小二乘线性度和灵敏度。
解 由校准数据得知，该压力传感器近似线性特性，迟滞误差较小，可用平均校准曲线来计算 根据3－14式
数据序号 1 0.1 220.75 0.01 2 0.2 481.55 0.04 3 0.3 763.3 0.09 4 0.4 993.10 0.16 5 0.5 1265.30 0.25 6 0.6 1533.45 0.36 7 0.7 1783.3 0.49 8 0.8 9 0.9 ∑ 4.5 xi yi 2013.0 2211.85 11265.6 0.64 0.81 2.85 xi2xiyi 22.08 96.31 228.99 397.24 632.65 920.07 1248.31 1610.4 1990.66 7146.71
x?y?n14.5x??4.5＝0.5 ?in9111265.6y??1251.73 ?in9n2Lxx??(xi?x)(xi?x)??xi?nx2?2.85?9?0.52?0.6
i?1i?1Lxy??xiyi?nxy?7146.71?9?0.5?1251.73?1513.93
i?1n1513.93?2523.2
Lxx0.6b?y?mx?1251.73?2523.2?0.5??9.87
m??最小二乘拟合直线方程式为
y=2523.2x－9.87-
再将各个输入值xi代入上式，依次找出输出－输入校正值与拟合直线相应点数值之间的最大偏差（见表？？？？），根据式(3-10)，
线性度＝ ?Lxy?LmaxA?100%??49.16?100%??2.2%
2211.850.4 993.10 0.5 1265.30 0.6 1533.45 0.7 1783.3 0.8 2013.0 0.9 2211.85 压力传感器的平均灵敏度用输出量和输入量的测量范围之比表示，
xi yi yi?y 0.1 220.75 0.2 481.55 0.3 763.3 242.45 494.77 -21.7 -13.22 747.09 999.41 1251.73 1504.05 16.21 -6.31 13.57 29.4 1756.37 2008.69 2261.01 26.93 4.31 -49.16 yi
S?y2211.85?220.75?mv?(kPa)?1?2488.88mv/kPa x0.9?0.1S=k=2523.2mv/kPa
也可以由拟合直线方程的斜率得到
5 试证明由若干个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为
H(?)??Hi(?)
i?1n由若干个子系统并联而成的测试系统的频率响应函数为
H(?)??Hi(?)
i?1n证明：图示为两个频率响应函数各为H1(?)和H2(?)串联而成的测试系统，假设两个子系统之间没有能量交换，系统在稳态时的输入和输出分别为x(t)、y(t)，显然，根据频率响应函数的定义，有
H(?)?即
Y(?)Y(?)Z(?)?? X(?)Z(?)X(?)H(?)?H1(?)?H2(?)
对于n个子系统串联而成的测试系统，可以将前(n-1)个子系统视为一个子系统，而把第n个子系统视为另一个子系统，应用两个子系统串联时频率响应函数的结论并递推可得 H(?)?n?H(?)
ii?1对于n个子系统并联而成的测试系统，如图所示，系统的稳态输出
y(t)?y1(t)?y2(t)?...?yn(t)
nY(?)Y1(?)?Y2(?)?...?Yn(?)∴ H(?)????Hi(?)
X(?)X(?)i?1证毕。
6 某一阶温度传感器，其时间常数τ=3.5 (s)，试求：(1) 将其快速放入某液体中测得温度误差
在2％范围内所需的近似时间。2 ) 如果液体的温度每分钟升高5?C，测温时传感器的稳态误差是多少？
解：(1) 将温度传感器快速放入某液体中测量温度，属于其实质是阶跃输入
根据阶跃输入状态下，一阶系统的响应特征，当t约为4τ时，其输出值为输入值的98.2%，
(2) 如果液体的温度每分钟升高5?C，传感器的输入信号为斜坡输入
x(t)=5t/60 其拉氏变换为 X(s)=5/60s2 一阶系统的传递函数
H(s)?Y(s)1?X(s)?s?1Y(s)?H(s)?X(s)?∴ y(t)?L[Y(s)]? 测温时传感器的稳态误差
e =5τ/60=0.29
7 试述线性系统最主要的特性及其应用
?151 ?260s(?s?1)5?[t??(1?e?t?)] 60线性系统最主要的特性是线性特性频率保持特性。
根据式3-2，线性特性表明，对于线性系统，如果输入放大，则输出将成比例放大；同时作用于线性系统的两个输入所引起的输出，等于两个输入分别作用于该系统所引起的输出的和，当多个输入作用于线性系统时，也有类似的关系。据此，在分析线性系统多输入同时作用下的总输出时，人们常常将多输入分解成许多单独的输入分量，先分析各分量单独作用于系统所引起的输出，然后将各分量单独作用的输出叠加起来便可得到系统总输出。
频率保持特性指线性系统的稳态输出y(t)，将只有和输入频率相同的频率成份，既
若 x(t)? 则 y(t)??Xi?1nii?1ni?ej?it
j(?it??i)?Y?e
也就是说，输出y(t)与输入x(t)保持相同的频率成分，由线性系统的叠加特性可知，多个
简谐信号叠加的输入，其输出必然有也只能有有与输入频率相同的频率成分。在测试工作中，人们常利用该性质，判断输出信号的信源，分析系统的传递特性，改善系统的信噪比，例如，一个系统如果处于线性工作范围内，当其输入是正弦信号时，它的稳态输出一定是与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值和相位有所变化。若系统的输出信号中含有其他频率成份时，可以认为是外界干扰的影响或系统内部的噪声等原因所至，应采用滤波等方法进行处理，予以排除。
28?n2.48 试求由两个传递函数分别为 和的两个子系统串联而成的测
3.6s?0.4s2?1.3?ns??n2试系统的总灵敏度（不考虑负载效应）
解：在不考虑负载效应的条件下，由题给传递函数的两个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为
228?n2.4 H(?)??223.6?j＋0.4-??1.3?n?j??n系统的总灵敏度为
2S＝H(?)??02.428?n??0.4?n22?22.4
9 对某静态增益为3.0的二阶系统输入一单位阶跃信号后，测得其响应的第一个峰值的超调量
为1.35，同时测得其振荡周期为6.28s，试求该测试系统的传递函数和系统在无阻尼固有频率处的频率响应。
解：据题意，被测二阶系统是一个欠阻尼二阶系统，其最大超调量M1和阻尼比ζ的关系式
?＝（1
)2?1?lnM1将M1＝1.35/3.0＝0.45 代入上式，可得ζ＝0.24 其有阻尼固有频率为 ?d?2???n1??2 Td式中Td为振荡周期，由题设条件Td＝6.28，解出ωn＝1.316 该系统的传递函数为
H(s)?S?n22s2?2??ns??n?5.20 2s?0.63s?1.73