水平高于在既定的预算线上其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
第三种情况：当MRS12=P1/P2时，a= P1/P2时，如图，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化达到均衡点可以是预算线上的任何一点的商品组合，即最优解为X1≥0，X2≥0，且满足P1X1+P2X2=M。此时所达到的最大效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一条无差异曲线所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
8、假定某消费者的效用函数为U?q0.5?3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：
（1）该消费者的需求函数； （2）该消费者的反需求函数； （3）当p?1，q=4时的消费者剩余。 12解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：
MU??U1?0.5?q?Q2货币的边际效用为:
???U?3?M 于是，根据消费者均衡条件MU/P =?，有： q?0.5?3p 整理得需求函数为q=1/36p2
（2）由需求函数q=1/36p2，可得反需求函数为：
p?1?0.5q 61612（3）由反需求函数p?q?0.5，可得消费者剩余为：
CS??4011?0.51q?dq??4?61234q011?? 33以p=1/12,q=4代入上式，则有消费者剩余： Cs=1/3
??U?xy，商品9设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即
x和商品y的价格格分别为px和py，消费者的收入为M，
?和?为常数,且????1
（1）求该消费者关于商品x和品y的需求函数。
（2）证明当商品x和 y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两种商品的需求关系维持不变。
（3）证明消费者效用函数中的参数?和?分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。
解答：（1）由消费者的效用函数U?x?y?，算得：
?U??x??1y??Q
?UMUy???x?y??1?yMUx?消费者的预算约束方程为
px?py?M （1）
根据消费者效用最大化的均衡条件
?MUXpx??py （2） ?MUYpxx?pyy?Mpx?x??1y???x?y??1py得pxx?pyy?M （3） 解方程组（3），可得
x??M/px （4）
y??M/py （5）
式（4）即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。 上述休需求函数的图形如图
（2）商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为
?pxx??pyy??M （6）
其中?为一个非零常数。
此时消费者效用最大化的均衡条件变为
px?x??1y???x?y??1py?pxx??pyy??M （7）
由于??0，故方程组（7）化为
px?x??1y???x?y??1pypxx?pyy?M （8）
显然，方程组（8）就是方程组（3），故其解就是式（4）和式（5）。 这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。 （3）由消费者的需求函数（4）和（5），可得
??pxx/M （9）
??pyy/M （10）
关系（9）的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额。关系（10）的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证实。
10基数效用者是求如何推导需求曲线的？
（1）基数效用论者认为,商品得需求价格取决于商品得边际效用.某一单位得某种商品的边际效用越小,消费者愿意支付的价格就越低.由于边际效用递减规律,随着消费量的增加,消费者为购买这种商品所愿意支付得最高价格即需求价格就会越来越低.将每一消费量及其相对价格在图上绘出来,就得到了消费曲线.且因为商品需求量与商品价格成反方向变动,消费曲线是右下方倾斜的.
（2）在只考虑一种商品的前提下，消费者实现效用最大化的均衡条件：MU /P=?。由此均衡条件出发，可以计算出需求价格，并推导与理解（1）中的消费者的向右下方倾斜的需求曲线。
11用图说明序数效用论者对消费者均衡条件的分析，以及在此基础上对需求曲线的推导。
解：消费者均衡条件: 可达到的最高无 差异曲线 和预算线相切, 即MRS12=P1/P2
需求曲线推导:从图上看出,在每一个均衡点上,都存在着价格与需求量之间一一对应关系,分别绘在图上,就是需求曲线X1=f (P1) 12用图分析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。
解：要点如下：
（1）当一种商品的价格发生变化时所引起的该商品需求量的变化可以分解为两个部分，它们分别是替代效应和收入效应。替代效应
P11 P12 P13 X11 X12 X13