于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数： 劳动的总产量函数TPL=20L-0.5L2-50 劳动的平均产量函数APL=20-0.5L-50/L 劳动的边际产量函数MPL=20-L （2）关于总产量的最大值： 20-L=0 解得L=20
所以，劳动投入量为20时，总产量达到极大值。 关于平均产量的最大值： -0.5+50L-2=0 L=10（负值舍去）
所以，劳动投入量为10时，平均产量达到极大值。 关于边际产量的最大值：
由劳动的边际产量函数MPL=20-L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，L=0时，劳动的边际产量达到极大值。
（3）当劳动的平均产量达到最大值时，一定有APL=MPL。由（2）可知，当劳动为10时，劳动的平均产量APL达最大值，及相应的最大值为：
APL的最大值=10 MPL=20-10=10 很显然APL=MPL=10
4.已知生产函数为Q=min{2L，3K}。求： （1）当Q=36时，L与K值分别是多少？
（2）如果生产要素的价格分别是PL=2，PK=5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？
解答：（1）生产函数表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，Q=2L=3K.相应的有L=18,K=12 （2）由Q=2L=3K,且Q=480，可得： L=240,K=160
又因为PL=2,PK=5，所以 C=2*240+5*160=1280 即最小成本。
5、已知生产函数为 （1）Q=5L1/3K2/3
（2）Q=KL/（K+L） （3）Q=KL2 （4）Q=min{3L，K}
求：（1）厂商长期生产的扩展线方程。
（2）当PL=1，PK=1，Q=1000时，厂商实现最小成本的要素投入组合。
解：（1）思路：先求出劳动的边际产量与要素的边际产量 根据最优要素组合的均衡条件，整理即可得。 （a） K=(2PL/PK)L （b） K=( PL/PK)1/2*L （c） K=(PL/2PK)L （d） K=3L
（2）思路：把PL=1,PK=1,Q=1000，代人扩展线方程与生产函数即可求出
（a）L=200*4-1/3 K=400*4-1/3 (b) L=2000 K=2000 (c) L=10*21/3 K=5*21/3 (d) L=1000/3 K=1000 6.已知生产函数Q=AL1/3K2/3。
判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？ （2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解：(1).Q=AL1/3K1/3
F( λl，λk )=A（λl）1/3（λK）1/3=λAL1/3K1/3=λf(L,K) 所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。
（2）假定在短期生产中，资本投入量不变，以k表示；而劳动 投入量可变，以L表示。 对于生产函数Q=AL1/3K1/3，有：
MPL=1/3AL-2/3K1/3，且d MPL/dL=-2/9 AL-5/3 k-2/3<0
这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。
相类似的，在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本
投入量的增加，资本的边际产量是递减的。
7、令生产函数f=(L,K)=α0+α1(LK)1/2+α2K+α3L,其中0≤αi≤1，i=0，1，2，3。（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。（2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的产量是递减的。
解：（1）当α0=0时，该生产函数表现为规模保持不变的特征 （2）基本思路：
在规模保持不变，即α0=0，生产函数可以把α0省去。 求出相应的边际产量
再对相应的边际产量求导，一阶导数为负。即可证明边际产量都是递减的。
8．已知某企业的生产函数为Q=L2/3K1/3，劳动的价格w=2，资本的价格r=1。求：
（1）当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。 （2）当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L、K和Q的均衡值。 解：(1).由题意可知，C=2L+K,
Q=L2/3K1/3
为了实现最大产量：MPL/MPK=W/r=2. 当C=3000时，得.L=K=1000. Q=1000.
(2).同理可得。800=L2/3K1/3.2K/L=2 L=K=800
C=2400
9利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。
解答：以下图为例，要点如下：
分析三条等产量线，Q1、Q2、Q3与等成本线AB之间的关系.等