2）倒格原胞与正格原胞的体积比等于（2π）3
3）倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族（h1h2h3）正交。 4）倒格矢Kh的模与晶面族（h1h2h3）的面间距成反比
37.一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体
有哪些对称操作？
答：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对
称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。
晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。
正八面体中有3 个4 度轴，其中任意 2 个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6 个2 度轴；6 个与2 度轴垂直的对称面；3 个与4 度轴垂直的对称面及一个对称中心。
38.晶体宏观对称性的基本对称操作有哪些？（5分）
答：有1、2、3、4和5次旋转对称轴及4次旋转反演轴4，中心反演操作i，
镜面操作m。
39. 给出晶体可以独立存在的8种对称元素的名称和符号。 答：8种对称元素为：
(1)1次旋转对称轴，符号为1（C1）；(2)2次旋转对称轴，符号为2（C2）；
C(3)3次旋转对称轴，符号为3（3）；(4)4次旋转对称轴，符号为4（C4）；
C(5)6次旋转对称轴，符号为6（6）；(6)1次旋转－反演轴，符号为1（C1）；(7)2次旋转－反演轴，符号为2（m）；(8)4次旋转－反演轴，符号为4（S4）。 40.按对称类型分类，布喇菲格子的种类有几种，晶格结构的点群类型有几种，
空间群有几种？
答：按对称类型分，有14种布喇菲格子，晶格结构的点群有32种，空间群
有230种。
41. 三维晶格包括哪七大晶系？并写出各晶系包含的布喇菲格子。
答：七大晶系分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四角晶系、
六角晶系和正方晶系。
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三斜晶系只包含简单三斜；单斜晶系包含简单单斜和底心单斜；正
交晶系包含简单正交、底心正交、体心正交和面心正交；三角晶系只包含三角格子；四角晶系包含简单四角和体心四角；六角晶系只包含六角格子；立方晶系包含简单立方、体心立方和面心立方。
42.设有AB型化合物，在某一温度范围内，具有CsCL结构；在另一温度范围
内，处于中心位置的B原子沿[001]方向发生小的位移；在第三温度范围内，B原子则由中心沿[111]方向发生小的位移。试说明三种温度范围内，该化合物的结构属于什么晶系，并扼要说明理由。
???????90答：当具有CsCL结构时，属于立方晶系，因为a=b=c，；若
体心的B原子沿[001]方向有一微小位移，使晶体轴拉长，则此时晶体属
???????90a?b?c于四角晶系，因为，；若体心B原子沿[111]方
向发生一微小位移，即沿立方对角线发生位移，此时晶体属于三角晶系，
???????90因为a=b=c，。
43.二维晶格包括哪几种晶系？并分别写出各晶系包含的布喇菲格子。 答：二维晶格包含四种晶系，分别为斜方晶系、长方晶系、正方晶系和六角
晶系。
斜方晶系只包含简单斜方；长方晶系包含简单长方和中心长方；正
方晶系只包含简单正方；六角晶系只包含简单六角。
44.为什么正交晶系有简单正交、底心正交、体心正交和面心正交四种格子，
而四方晶系只有简单四方和体心四方没有底心四方和面心四方格子？ 答: 因为在四方晶系中底心四方和面心四方不是最简单的四方格子。底心四
方可化为更简单的简单四方格子，而面心四方可化为更为简单的体心四方格子。
45.温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化? 答：温度升高时, 由于热膨胀, 面间距
可知,对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距
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逐渐变大. 由布拉格反射公式
逐渐变大, 衍射
角 逐渐变小.所以温度升高, 衍射角变小。
当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角 随之变大。 46. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ 答：晶体中原子间距的数量级为10?10米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，
光波的波长应小于10?10米. 但可见光的波长为7.6?4.0?10?7米, 是晶
体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 47.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍
射光弱? 为什么?
答：对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强.
低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式
2dhklsin??n?
可知, 面间距dhkl大的晶面, 对应一个小的光的掠射角?. 面间距dhkl小的晶面, 对应一个大的光的掠射角?. ?越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
48.面心立方元素晶体, 密勒指数(100)和(110)面, 原胞坐标系中的一级衍射, 别对应晶胞坐标系中的几级衍射?
答：对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可以
求得为(111), p’=1. 由(1.33)式可知,K??h?2Khkl Kh?2Khkl；且求得
dh1h2h3?dhkl/2; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=2n. 即对于面心立
方元素晶体, 对应密勒指数(100)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的二级衍射.
对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为(001), p’=2. 由(1.33)式可知, Kh?Khkl; 由(1.16)和(1.18)两式可知,
dh1h2h3?dhkl; 再由(1.26)和(1.27)两式可知,
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分n’=n, 即对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的一级衍射.
49. 由KCl的衍射强度与衍射面的关系, 说明KCl的衍射条件与简立方元素
晶体的衍射条件等效。
答：Cl 与K是原子序数相邻的两个元素, 当Cl原子俘获K原子最外层的一
个电子结合成典型的离子晶体后, Cl与K?
?的最外壳层都为满壳层,
原子核外的电子数和壳层数都相同, 它们的离子散射因子都相同. 因此, 对X光衍射来说, 可把Cl与K?看成同一种原子. KCl与NaCl结构相同, 因此, 对X光衍射来说, KCl的衍射条件与简立方元素晶体等效.
由KCl的衍射强度与衍射面的关系也能说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效. 一个KCl晶胞包含4个K?离子和4个Cl离子，它们的坐标
111111000K?：（000）（22）（22）（22）
111111000000Cl-：（2）（2）（2）（222）
--由（1.45）式可求得衍射强度Ihkl与衍射面(hkl)的关系
Ihkl={fK[1+cosn?(h?k)?cosn?(k?l)?cosn?(l?h)]?
?
fCl-[cosnh??cosnk??cosnl??cosn?(h?k?l)]}
由于
fK?等于
fCl-, 所以由上式可得出衍射面指数nh, nk, nl全为偶
222数时, 衍射强度才极大. 衍射面指数的平方和(nh)?(nk)?(nl): 4, 8,
12, 16, 20, 24?. 以上诸式中的n由
2a(nh)?(nk)?(nl)222sin???
决定. 如果从X光衍射的角度把KCl看成简立方元素晶体, 则其晶格常数为a'?a/2, 布拉格反射公式化为
2a'(n'h)?(n'k)?(n'l)222sin???
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222显然n?2n', 衍射面指数平方和(n'h)?(n'k)?(n'l): 1, 2, 3, 4, 5,
6?. 这正是简立方元素晶体的衍射规律. 50. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同? 答：取几何结构因子的(1.44)表达式
Fhkl??fjej?1ti2n?(huj?kvj?lwj),
其中uj,vj,wj是任一个晶胞内,第j个原子的位置矢量在a, b, c轴上投影的系数. 金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的a, b, c大小不相同, 但第j个原子的位置矢量在a, b, c轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子
fj都一样, 则几何结构因子化为
ti2n?(huj?kvj?lwj)
在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于
j?1Fhkl?f?e金刚石和硅、锗原子中的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子f不会相同。
两者的几何结构因子相同。由公式可推出，金刚石和硅的每个原胞内
包含4个原子，且其晶体结构相同，由定义，在所考虑的方向上，几何结构因子
F?s???i?2????fiexp?is?Ri???fiexp?i2?n?hui?kvi?lwi??
???i(fi表示原胞中第i个原子的散射因子)
由上式可得，n、h、ui、vi、wi均与a无关，所以两者的几何结构因子相同。
51.(a)列出简单六角点阵以下点阵平面的等效平面数目：(100)，(110)，(111)，(001)，(120)，(hkl)。(b) 已知点群为6／mmm的六角晶体中一个晶面的指数为(121)，试写出全部与此等效的晶面指数。
答: (a) 等效平面数目一对，(100)与 (001)。
121??121??121??(b)与 晶面的指数 (121) 等效的晶面指数有、、。
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