故
OQOP?2． -------------（6分）
方法四：设P(2cos?,sin?)， ----------------4 则Q(4cos(???),2sin(???))，即Q(?4cos?,?2sin?)， ----------------5 所以 OQ?16cos??4sin??24cos??sin??2OP， 故
2222OQOP?2． -------------（6分）
方法五：设P(x1,y1),Q(x2,y2)
??x1y2?x2y1?0?2?x12?y?1， ----------------4 ?1由条件得
?422?x2y2??1??1642?x2?4x12----------------5 解得 ?22，
?y2?4y12222OQ?x?y?2x?y2211?2OP， 所以
故
OQOP?2． ------------（6分）
（ii）（友情提醒：①本问满分7分，基本解法有三种；②第三问得分要点：第
一个判别式1分，弦长公式1分，点到直线的距离1分，三角形面积公式1分，第二个判别式1分，换元求最值2分；③求出三角形面积公式求最值时常见有三种解法；④求出?OAB的面积最大值后，直接写出?ABQ面积的最大值，不扣
y 分）
:方法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)． 将 y?kx?m代入椭圆E的方程，
Q B O A P x 16
可得 (1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0，
由 ??0，可得 m2?4?16k2． ① ----------------7
8km4m2?16,x1x2?则有 x1?x2?? ． 221?4k1?4k416k2?4?m2x1?x2?1?4k2
41?k216k2?4?m2所以 AB?1?kx1?x2?． -------------（8分）
1?4k2????1????设Q(x0,y0)，由（i）知OP??OQ，
21111所以 P(?x0,?y0)，且?y0?k(?x0)?m，
22222则点Q到直线y?kx?m的距离
d?kx0?y0?m1?k2?3m1?k2， -------------9
616k2?4?m2m1所以 ?QAB的面积 S?dAB?-------------（10分） 221?4k
6(16k2?4?m2)m2?1?4k2m2m2?6(4?)21?4k1?4k2
以下求最值常见有三种方法：
m2?t．将 y?kx?m代入椭圆C的方程， 方法①：设 21?4k可得 (1?4k)x?8kmx?4m?4?0，
22由 ??0，可得 m?1?4k． ② ----------------11
2222由①②可知 0?t?1， 因此 S?6(4?t)t?6?t+4t．
故 S?63，
22当且仅当t?1，即m?1?4k时取得最大值63．
17
所以 ?ABQ面积的最大值为63． -------------（13分） 方法②：设 1+4k2?t．将 y?kx?m代入椭圆C的方程， 可得 (1?4k2)x2?8kmx?4m2?4?0，
由 ??0，可得 m2?1?4k2． ② ----------------11
2m2由①②可知 0?m?t，0 因此 S?6(4t?m2)m2t2?6?(m2t)2?4m2t． 故 S?63， 当且仅当m2t?1,，即m2?t?1?4k2时取得最大值63． 所以 ?ABQ面积的最大值为63． -------------（13分）方法③：设16k2?4?m2?t将 y?kx?m代入椭圆C的方程， 可得 (1?4k2)x2?8kmx?4m2?4?0， 由 ??0，可得 m2?1?4k2． ② ----------------11 由①②可知 3m2?t2，tm?3， 因此 S?24tm24m2?t2?tm． m?t故 S?63， 当且仅当 tm?3,，即m2?1?4k2时取得最大值63． 所以 ?ABQ面积的最大值为63． -------------（13分）方法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)． 将 y?kx?m代入椭圆E的方程， 18 可得 (1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0， 由 ??0，可得 m2?4?16k2． ① ----------------7 8km4m2?16,x1x2?则有 x1?x2?? ． 221?4k1?4k以下求?OAB的面积常见有两种解法： 416k2?4?m2方法①： x1?x2? -------------（8分） 21?4k因为 直线y?kx?m与y轴交点的坐标为(0,m)， 所以 ?OAB的面积S?1mx1?x2 2 --------9 216k2?4?m2m-------------（10分） ?21?4k 2(16k2?4?m2)m2?1?4k2m2m2 ?2(4?)1?4k21?4k22 41?k216k2?4?m2方法②： AB?1?kx1?x2?．-------------（8分） 1?4k2 则点O到直线y?kx?m的距离 d? ， --------9 1?k2m所以 ?OAB的面积S?1dAB 2 216k2?4?m2m-------------（10分） ?21?4k m2m2 ?2(4?)21?4k1?4k2 以下求最值方法与方法一相同： 19 m2?t． 只写一种解法（省标）：设 1?4k2将 y?kx?m代入椭圆C的方程， 可得 (1?4k2)x2?8kmx?4m2?4?0， 由 ??0，可得 m2?1?4k2． ② ----------------11 由①②可知 0?t?1， 2因此 S?2(4?t)t?2?t+4t． 故 S?23， ----------------12 由①②可知 0?t?1， 22 当且仅当t?1，即m?1?4k时取得最大值23． 由（i）知，?ABQ面积为3S， 所以 ?ABQ面积的最大值为63． -------------（13分） 正常情况下，拿到其中一半左右分数是多数同学能够做到的，如果有好的心态和好的方法，拿到更多的分数也绝非空谈，下面我就简单谈一下技巧性与快速得分的问题。 独家放送 x2x2y22?1. ?y?1，E:?（II）（i）由（I）知C:1644??x?x?,作变换：?2，从而上述两个椭圆变为圆 ??y??yP?O?C?:x?2?y?2?1，E?:x?2?y?2?4. 如右图， Q?|OQ||O?Q?|??2. |OP||O?P?|（ii）根据图形，及问题（i）可知S?ABQ?3S?AOB. 由（i）中的变换，变换后的图形如下图所示： 20