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《第1章 勾股定理》2010年实验班单元检测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长是（ ） 5 10 4 A．B． C． D． 大于1且小于7 考点： 三角形三边关系． 分析： 由三角形的性质可得BC﹣AC＜AB＜AC+BC，将AC、BC的值代入该不等式求出AB的取值范围． 解答： 解：由三角形的性质得： BC﹣AC＜AB＜AC+BC（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）， 即：4﹣3＜AB＜4+3，1＜AB＜7． 故选D． 点评： 本题主要考查三角形的性质，三角形的两边之和一定大于第三边，两边之差小于第三边． 2．（3分）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．三角形三边分别是9，40，41 B． 三角形三内角之比为1：2：3 三角形三内角中有两个角互余 C．D． 三角形三边之比为2：3：4 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 分别讨论四个选项是否满足勾股定理的逆定理或者有一个角是直角即可，若满足则是直角三角形，否则不是． 222解答： 解：对于A：9+40=41，满足勾股定理的逆定理，所以该三角形是直角三角形； 对于B：设三个内角为x，2x，3x则，x+2x+3x=180°，x=30°．此时三个内角分别为30°、60°、90°，即有一个角是直角，所以该三角形是直角三角形； 对于C：三角形三内角中有两个互余，即另外一个角是90°，所以该三角形是直角三角形； 22222对于D：设该三角形的三边为2x、3x、4x则（2x）+（3x）=13x≠（4x）=16x，不满足勾股定理，也没有角为直角，所以不是直角三角形． 故选D． 点评： 本题主要考查利用直角三角形的性质证明该三角形是直角三角形的能力，只要满足勾股定理的逆定理或者有一个角为直角都可证明是直角三角形． 3．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A．∠A=∠B﹣∠C B． ∠A：∠B：∠C=1：1：2 C． a：b：c=1：1：2 D．b 2=a2﹣c2 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： ①由∠A=∠B﹣∠C，得∠B=90°；②由∠A：∠B：∠C=1：1：2，得∠B=90°； 222222222③由a：b：c=1：1：2，得a+b≠c，④由b=a﹣c得b+c=a． 解答： 解：A、∠A=∠B﹣∠C，△ABC是直角三角形； B、∠A：∠B：∠C=1：1：2，△ABC是直角三角形； C、a：b：c=1：1：2，△ABC不是直角三角形； 222222D、b=a﹣c得b+c=a，△ABC是直角三角形； 故选C． 点评： 本题考查了直角三角形的判定和勾股定理的逆定理． ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 4．（3分）已知△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，则下列结论无法判断的是（ ） A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B． △ABC是直角三角形，且∠ABC=90° △C．ABC的面积为60 D． △ABC是直角三角形，且∠A=60° 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再根据直角三角形的性质进行逐一判断即可． 解答： 解：∵△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17， 222222∴AB+BC=8+15=AC=17， ∴△ABC是直角三角形， ∵AC为斜边，∴A、B正确； ∵△ABC是直角三角形，∴S△ABC=×8×15=60，故C正确； 故选D． 点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，根据题意判断出△ABC的形状是解答此题的关键． 5．（3分）将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ） A．仍是直角三角形 B． 不可能是直角三角形 是锐角三角形 C．D． 是钝角三角形 考点： 相似图形；相似三角形的性质． 分析： 根据相似三角形的判定及性质作答． 解答： 解：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例， ∴两三角形相似． 又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等， ∴得到的三角形仍是直角三角形． 故选A． 点评： 三边对应成比例的两个三角形相似．相似三角形的对应角相等． 6．（3分）D是△ABC中BC边上一点，若AC﹣CD=AD，那么下列各式中正确的是（ ） 22222222222222 A．C． D． AB﹣BD=AC﹣CD B． AB=AD﹣BD AB+BC=AC AB+BC=BC+AD 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 根据题意画出图形，再根据已知条件判断出△ACD及△ABD的形状，再根据勾股定理的逆定理解答即可． 解答： 解：如图所示： 222∵AC﹣CD=AD， ∴△ACD是直角三角形， ∴AD⊥BC， ∴△ABD是直角三角形， 2222∴AB﹣BD=AC﹣CD． 故选A． 222
点评： 本题考查的是勾股定理及其逆定理，根据已知条件判断出△ACD是直角三角形是解答此题的关键，比较简
?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 单． 7．（3分）如果△ABC的三边分别为m﹣1，2 m，m+1（m＞1）那么（ ） 2 A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m+1 △B．ABC是直角三角形，且斜边长为2m △C．ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定 D．△ABC不是直角三角形 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选出正确答案． 22222解答： 解：∵（m﹣1）+（2 m）=（m+1）， 22
∴三角形为直角三角形，且斜边长为m+1， 2A、△ABC是直角三角形，且斜边长为m+1，正确； B、△ABC是直角三角形，且斜边长为2m，错误； C、△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定，错误； D、△ABC是直角三角形，错误． 故选A． 点评： 本题利用了勾股定理的逆定理来判定直角三角形．已知△ABC的三边满足a+b=c，则△ABC是直角三角形． 8．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则下列说法错误的是（ ） 22222∠C=90° a=b A．B． C． D． a=b﹣c c=2a 考点： 勾股定理． 分析： 首先根据△ABC角度之间的比，可求出各角的度数．∠C为90度．根据勾股定理可分别判断出各项的真假． 解答： 解：由∠A：∠B：∠C=1：1：2；得：∠A=∠B=45°，∠C=90°；所以A正确． 2222由勾股定理可得：c=a+b，所以B错误． 2222因为∠A=∠B=45°，则a=b，同时c=a+b=2a．所以C、D正确． 故选B． 点评： 本题考点：三角形的性质和勾股定理的应用．首先可根据各角度之间的比值得出各角的度数．度数相等的两个角他们所对应的边长度也相等．结合勾股定理即可得出B选项错误． 9．（3分）（2002?南通）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
222
2cm 3cm 4cm 5cm A．B． C． D． 考点： 勾股定理． 专题： 压轴题． 分析： 先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长． 解答： 解：∵AC=6cm，BC=8cm， ∴AB=10cm， ∵AE=6cm（折叠的性质）， ∴BE=4cm， ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 222设CD=x，则在Rt△DEB中，4+x=（8﹣x）， ∴x=3cm． 故选B． 点评： 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 10．（3分）直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ） 13cm 9cm A．B． C． D． cm cm 考点： 勾股定理． 分析： 首先根据勾股定理，得直角三角形的斜边是13，再根据直角三角形的面积公式，得其斜边上的高是． 解答： 解：如图： 设AC=5cm，BC=12cm，根据勾股定理，AB=根据三角形面积公式：×5×12=×13×CD，CD=故选C． cm． =13cm， 点评： 熟练运用勾股定理，能够根据直角三角形的两种不同的面积表示方法来计算直角三角形斜边上的高． 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分） 11．（4分）△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC= 13 cm． 考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理． 分析： 根据已知及勾股定理的逆定理可得△ABD，△ADC是直角三角形，从而不难求得AC的长． 解答： 解：∵D是BC的中点，BC=10cm， ∴DC=BD=5cm， 222∵BD+AD=144+25=169，AB=169， 222∴BD+AD=AB， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90° ∴△ADC也是直角三角形，且AC是斜边 ∴AC=AD+DC=AB ∴AC=13cm． 故答案为：13． 2222 点评： 本题考查了勾股定理的应用和直角三角形的判定． 12．（4分）如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积 12 ．
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考点： 勾股定理；三角形的面积；正方形的性质． 专题： 计算题． 分析： 由图可得出四边形ABCD的面积=网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，该网格是5×5类型的且边长都是1的小正方形，面积为5×5；四个角的四个直角三角形的直角边分别为：1、2；4、3；3、2；3、2；根据直角三角形的面积等于×两直角边的乘积，分别求出四个直角三角形的面积，进而求出四边形ABCD的面积． 解答： 解：由题意可得： 四边形ABCD的面积=5×5﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×3﹣×2×3=12， 所以，四边形ABCD的面积为12． 故答案为12． 点评： 本题主要考查求不规则图形面积的能力，关键在于根据图形得出：四边形ABCD的面积=网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，求出四边形ABCD的面积． 13．（4分）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 3或 ． 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析． 解答： 解：①当第三边为斜边时，第三边==； ②当边长为5的边为斜边时，第三边==3． 点评： 本题利用了勾股定理求解，注意要分两种情况讨论． 14．（4分）满足a+b=c的三个正整数，称为 勾股数 ． 考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数． 222分析： 因为题中a，b，c满足a+b=c，且a，b，c都为正整数，这样的满足勾股定理的逆定理的正整数，称之为勾股数． 解答： 解：勾股数； 因为a，b，c都为正整数，且满足勾股定理的逆定理，所以是勾股数． 点评： 掌握勾股数的含义及勾股定理的逆定理． 222
15．（4分）如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）+|b﹣18|+
2
=0，则a= 24 ，b= 18 ，
c= 30 ，△ABC是 直角 三角形． 考点： 勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根． 分析： 先根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理解答． ?2010-2013 菁优网