31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=在直线y=
x相交于点E，与x轴相交于点D，点P
x上（不与原点重合） ，连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式； （2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=
x上任意一点P∠PDF的大小为定值．（不与原点重合），请
你判断该猜想是否正确，并说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先提取公式因式将原式变形为y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=6，于是可求得m的值； （2）由（1）的可知点A、B的坐标；
（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°． 【解答】解：（1）∵y=mx2+4mx﹣5m， ∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）． 令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0， ∵m≠0，
∴x=﹣5或x=1． ∴A（﹣5，0）、B（1，0）． ∴抛物线的对称轴为x=﹣2． ∵抛物线的顶点坐标为为6， ∴﹣9m=6．
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∴m=﹣．
x2﹣
x+
．
∴抛物线的解析式为y=﹣
（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）． （3）如图所示： ∵OP的解析式为y=
x，
∴∠AOP=30°． ∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD， ∴∠DPF=∠FOD=90°． ∴∠DPF+∠FOD=180°． ∴点O、D、P、F共圆． ∴∠PDF=∠PBF． ∴∠PDF=60°．
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2016年6月21日
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