1.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,?BAD?90?，PA垂直于底面ABCD，PA?AD?AB?2BC?2,M,N分别为PC,PB的中点。 (1)求证：PB?DM；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）求截面ADMN的面积。 解：（1）证明：因为N是PB的中点，PA?AB， 所以AN?PB。 由PA?底面ABCD，得PA?AD， 又?BAD?90?，即BA?AD，
? AD?平面PAB，所以AD?PB ， ? PB?平面ADMN， ?PB?DM。
（2）连结DN，
因为BP?平面ADMN，即BN?平面ADMN， 所以?BDN是BD与平面ADMN所成的角， 在Rt?ABD中，BD?BA2?AD2?22，在Rt?PAB中，
12P?B2，在
?PB?PA2?AB2?22，故BNR?tB中D, sin?BDN?BN1?，又0??BDN??， BD2故BD与平面ADMN所成的角是
?。 611BC?， 22（3）由M,N分别为PC,PB的中点，得MN//BC，且MN?又AD//BC，故MN//AD，由（1）得AD?平面PAB，又AN?平面PAB，故
AD?AN，
?四边形ADMN是直角梯形，在Rt?PAB中，PB?PA2?AB2?22，
AN?1PB?2， 211152。 ? 截面ADMN的面积S?(MN?AD)?AN?(?2)?2?2224（1）以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A?xyz，如图所示（图略）
由PA?AD?AB?2BC?2，得A(0,0,0)，P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,,1),D(0,2,0)
?????????3因为PB?DM?(2,0,?2)(1,?,1) ?0 ，所以PB?DM。
212
????????（2）因为 PB?AD?(2,0,?2)?(0,2,0)?0 所以PB?AD，又PB?DM ， ????故PB?平面ADMN，即PB?(2,0,?2)是平面ADMN的法向量。 ????设BD与平面ADMN所成的角为?，又BD?(?2,2,0)。
??????????????????|BD?PB||?4|1???????则sin??|cos?BD,PB?|?????， |BD||PB|4?4?4?42又??[0,?2]，故???6，即BD与平面ADMN所成的角是
?。 6ADCP因此BD与平面ADMN所成的角为
?， 6B2.如图，已知ABCD?A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，
?AD1A1?60，AD1?4，点P是AD1上的动点．
（1）试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面
B1A1?D1C1B1PA1垂直于平面AA1D1D并证明你的结论；
（2）当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值； （3）求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值．
解：（1）不论点P在AD1上的任何位置，都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1. 证明如下：由题意知，B1A1?A1D1，B1A1?A1A 又?AA1?A1D1?A1
?平面AA1D1． ?B1A1?平面AA1B1?平面B1PA1 ?平面B1PA11D1 又A（2）解法一：过点P作PE?A1D1，垂足为E，连结B1E（如图），则PE∥AA1，
??B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角．
BADCP在Rt△AA1D1中 ∵?AD1A1?60 ∴?A1AD1?30 ∴A1B1?A1D1???11AD1?2, A1E?A1D1?1， 22B1A1EC1D1
?B1E?B1A12?A1E2?5． 又PE?1AA1?3． 2?在Rt△B1PE中，B1P?5?3?22 cos?B1PE?PE36． ??B1P224zADCP6． ?异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为4B解法二：以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则A1(0，0，0)，????????0，0)，P(01A(0，0，23)，B1(2，0，23)，B1P?(?21，，3) ，，3)，?A1A?(0，A1yD1xB1C1????????????????A1A?B1P66???????∴cos?A1A． ?，B1P??????4|A1A|?|B1P|23?226． 4∴异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为（3）由（1）知，B1A1?平面AA1PA1是PB1与平面AA1D1，??B1D1所成的角，
且tan?B1PA1?B1A12． ?A1PA1PA1D1?A1A?3 AD1当A1P?1P最小时，tan?B1PA1最大，这时A1P?AD1，由A得tan?B1PA1?2323，即PB1与平面AA所成角的正切值的最大值． D11336.已知PA?平面ABCD，PA?AB?AD?2，AC与BD交于E点，BD?2，
BC?CD，
（1）取PD中点F，求证:PB//平面AFC。 （2）求二面角A?PB?E的余弦值。
解法1:(1)联结EF，∵AB?AD，BC?CD，AC=AC ∴?ADC??ABC，∴E为BD中点，∵F为PD中点， ∴PB//EF， ∴PB//平面ACF
（2）联结PE，∵PA?AB?AD?BD?2， ∴在等边三角形ABD中,中线AE?BD，
又PA?底面ABCD， ∴PA?BD，∴BD?面PAE，
∴平面PAE?平面PBD。过A作AH?PE于H，则AH?平面PBD， 取PB中点G，联结AG、GH，则等腰三角形PAB中，AG?PB， ∵AH?PB，∴PB?平面AGH，∴PB?GH， ∴?AGH是二面角A?PB?E的平面角
等腰直角三角形PAB中，AG?2，等边三角形ABD中，AE?3， ∴Rt?PAE中，AH?232，∴GH?，
7727?1?7. ∴二面角A?PB?E的余弦值为7。
7727zP∴COS?AGH? 解法2：
GH?AG以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ∵PA?AB?AD?BD?2，BC?CD ∴?ABC??ADC， ∴?ABD是等边三角形，且E是BD中点，AC?BD
F0，0)、B(10，2)、则A(0，，3，0)、E(0，3，，3，0)、D(?10)、P(0，D13F(?，，1)
22????1????????????13，3，?2)、FE?(，，?1) ∴PB?FE，（1）PB?(1222∴PB//EF，∴PB//平面ACF
AECyxB??（2）设平面PAB、PBE的法向量分别为n1?(x1，y1，、0)n2?(x2，y2，?1)，. ?????则n1、n2的夹角的补角就是二面角A?PB?E的平面角； ????????????∵AB?(1，3，0)，PB?(1，3，?2)，PE?(0，3，?2)，
?????????????????n2?PB?0由n1?AB?0及???得n1?(?310)，，，???????n2?PE?0??????????n?n27???， cos?n1，n2????1??7|n1|?|n2|∴二面角A?PB?E的余弦值为???2n2?(0，-，?1)3，
7。 77.如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。
（I）求证：AF//平面BCE；
（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。 【解】（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，
∴FP//DE，且FP=
11DE. 又AB//DE，且AB=DE. 22∴AB//FP，且AB=FP， ∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE， ∴AF//平面BCE。
（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D， ∴AF⊥平面CDE。
又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。 （III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建
立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），
B(?3,0,1),E,(0,1,2).
设n?(x,y,z)为平面BCE的法向量,??3x?y?z?0,则n?CB?0,n?CE?0,即?令z?1,则n?(0,?1,1).?2y?2z?0.显然，m?(0,0,1)为平面ACD的法向量。 设平面
BCE
与平面
ACD
所成锐二面角为
?,则cos??|m?n|12??.
|m|?|n|22??45?，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。
DAB?90?， AB∥9.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠CD，
SAD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点． （Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA?k?AB,且二面角E?BD?C为60?，求k的值.
DMCB??解：（Ⅰ）证明： DF?AB??矩形ABFD?BF?CD
?DAB?90??? PA⊥平面ABCD，AD⊥CD.
DF//ABA由三垂线定理得PD?CD?? CD⊥平面BEF E是PC中点???EF?CD ∴
?EFPD??F是CD中点??（Ⅱ）连结AC且交BF于H，可知H是AC中点，连结EH,