∴直线AC与平面ABD?所成的角的正弦值为
30． 1525.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1 B1 C1，平面A1 A1⊥平面ABC，A1A1?3，AB=AC=2，A1 C1=1，
BA?AC?23，D是BC的中点．
(I)证明：平面A1AD上平面BC C1 B1； (II)求二面角A－B B1－C的大小． 解：(I)∵A1 A⊥平面ABC，BCC平面ABC， ∴A1 A⊥BC．
∵BA?AC?23，AB=AC=2
∴∠BAC=60°，∴△ABC为正三角形，即AD⊥BC． 又A1 A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，
∵BC?平面BCC1B1，∴平面A1 AD⊥平面BCC1B1． (Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，3，0)，
A1(0，0，
3)，B1(1，0，3)，
∴BB1?(?1,0,3),BC?(?1,3,0)， 显然，平面ABB1A1的法向量为m=(0，1，0)，
设平面BCC1B1的法向量为n=(m，n，1)，则BC?n?0,BB1?n?0
???m?3n?0∴? ∴m?3,n?1， ???m?3?0 n?(3,1,1)， cosm，n?0?3?1?1?0?112?02?02?(3)2?12?125 5?1 5 即二面角A－BB1－C为arccos
29.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°. (Ⅰ)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；
????????????(Ⅱ)已知点D满足BD?BA?BC，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若
存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O， ∴A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等， ∴AO=1，OA1=OB=3，BO⊥AC.
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则
????A(0，-1，0)，B(3，0，0)，A1(0，0，3)，C(0，1，0)，AA,3)； 1?(0,1∴AB1??3,2,3,AC??0,2,0?.设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)
???n?AB1?3x?2y?3则?解得n=(-1,0,1). ??n?AC?2y?0
????AA1?n36由cos=??. ,n14AA1?n22????而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量AA1与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为
6. 4????????????????????????(Ⅱ)∵BD?BA?BC,而BA??3,?1,0,BC??3,1,0. ∴BD?(?23,0,0)
????又∵B(3，0，0)，∴点D的坐标为D(-3，0，0).假设存在点P符合题意，
????则点P的坐标可设为P(0，y，z). ∴DP??3,y,z
?∵DP∥平面AB1C，n=(-1，0，1)为平面AB1C的法向量，
?????????y?1??,?y?0. ∴由AP??AA1，得??3??3又DP?平面AB1C，故存在点P，使DP∥平面AB1C，其从标为(0，0，3)，即恰好为A1点
33.如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，
平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°。 （Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值； （Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？
若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°，
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3，∴AO2+A1O2=A12 ∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD，∴以OB．OC．OA1所在直线为x轴．y轴．z轴建立如图
所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（3，0，0），C（0，1，0）， D（－3，0，0），A1（0，0，3）于BD?(?23,0,0)，AA,3)， 1?(0,1则AA1?BD?0?(?23)?1?0?3?0?0，∴BD⊥AA1… （Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量n1?(1,0,0)，
??n2?AA1设n2?(x,y,z)， 设n2⊥平面AA1D则???n2?AD?n1?n25?y?3z?0取n2?(1,3,?1)，?cos?n1,n2???得到?5?|n1|?|n2|??3x?y?0，
所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是
5 5（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1，设CP??CC1,P(x,y,z)则
(x,y?1,z)??(0,1,3)，得P(0,1??,3?)BP?(?3,1??,3?)
??n3?A1C1设n3?平面DA1C1则?设n3?(x3,y3,z3)，得到
??n3?DA1??2y3?0不妨取n3?(1,0,?1)，又因为BP//平面DA1C1，则???3x3?3z3?0n3·BP?0即?3?3??0得???1，即点P在C1C的延长线上且
使C1C=CP…
34.如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点． （1）求异面直线AE和BF所成的角的余弦值；
（2）求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值；
（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP//平面BFC1，求EP的最大值、最小值．
解：（1）A(1,0,0)，E(,0,1)，B(1,1,0)，F(1,121,1) 211AE?(?,0,1)，BF?(0,?,1),cos(AE,BF)?22 （2）平面BDD1的一个法向量为MA?(,?15544?4 5121,0)，设平面BFC1的法向量为n?(x,y,z) 21?n?BF??y?z?0?x?z?2∴ ???n?BC?(x,y,z)?(?1,0,1)??x?z?0?y?2z?取z?1得平面BFC1的一个法向量n?(1,2,1)
1??????1?????3MA?n3 ∴所求的余弦值为 cos?MA,n????????2??66|MA||n|262（3）设P(x,y,0)（0?x?1,0?y?1） ?????????11EP?(x?,y,?1)，由EP?n?0得(x?)?2y?1?0
223313即x??2y?，?0?x?1,?0??2y??1??y?
2244????126?|EP|?(x?)2?y2?1?(2y?1)2?y2?1?5y2?4y?2?5(y?)2? 255????13233029??y?,?当y?时，?|EP|min?当y?时，∴EP ?max44544537.如图，P、O分别是正四棱柱ABCD?A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，
AB?kAA1.
D1 P A1 D B1 C
O C1
（Ⅰ）求证：A1E∥平面PBC；
（Ⅱ）当k?2时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
A E (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心? B
解法一：（Ⅰ）过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N分别为 A1B1、D1C1的中点，连MB、NC，则四边形BCNM是平行四边形 ∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB 又MB?平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
（Ⅱ） 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，∵BC⊥平面ABB1A1，AF?平面ABB1A1，
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，
设AA1=a，则AB=2a，AF=sin∠APF=
23a，AP=2a， 3AF66?。所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin。 AP33（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC，所以k?2。
反之，当k=2时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥O?PBC为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为?PBC的重心
解法二：以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB?22，则得A1(2,0,C(?2,0,0)
2222)、B(0,2,0)、)、E(1,1,0)、P(0,0,kkz D1 C1
P B1 (Ⅰ)由上得A1E?(?1,1,??????????22)、BC?(?2,?2,0)、 k?????????????????22PB?(0,2,?)，设A1E?x?BC?y?PB得
k2222)?x?(?2,?2,0)?y?(0,2,?) kk?????1????????1解得x?， y?1， ∴A1E?BC?PB
22(?1,1,?A1 D O C
x A E1 B y
?BC?PB?B，A1E?平面PBC ∴A1E∥平面PBC
（Ⅱ）当k?2时，由P(0,0,2)、A(2,0,0)得PA?(2,0,?2)、BC?(?2,?2,0)、PB?(0,2,?2) ?????????1???0?n?BC?0设平面PBC的法向量为n?(1,?,?)，则由?????，得，n?(1,?1,?1) ??????0???n?PB?0??????????6PA?n6???cos?PA， n?????，∴直线PA与平面PBC所成角的大小为arcsin.
33?PA???n??????2222?2222OG?(?,,)， ，则??333k333k??????????????_
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知?PBC的重心G为???,,?????????OG?BC?0?若O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心，则有????????，解得k?2 ???OG?PB?0