?3?3at?an?2?131?需?0?ma?an，解得t? ?当EM?a时，AM//平面BDF
332??a??am?an??（Ⅲ）解法一、取EF中点G，EB中点H，连结DG，GH，DH
?DE?DF,?DG?EF?BC?平面ACFE?BC?EF
又?EF?FC，?EF?FB，又?GH//FB，?EF?GH
EFG?BE2?DE2?DB2
??DGH是二面角B?EF?D的平面角.
在?BDE中,DE?HD2a,DB?3a,BE?AE?AB?5a
AB22C??EDB?90?,?DH?552a. 又DG?a,GH?a. 22210, 10?在?DGH中，由余弦定理得cos?DGH?即二面角B?EF?D的平面角的余弦值为
10. 10z F E 解法二:由(Ⅰ)知,以点C为原点，CA,CB,CF所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0)，A(3a,0,0)，
D(3a1,?a,0)，F(0,0,a)，E(3a,0,a)过D作DG?EF, D 22??C O x A B y 垂足为G. 令FG??FE??(3a,0,0)?(3?a,0,0),
CG?CF?FG?(3a?,0,a), DG?CG?CD?(3?a???????????31a,a,a) 22??111由DG?EF得,DG?EF?0,????DG?(0,a,a),即GD?(0,?a,?a)
222?BC?AC,AC//EF,?BC?EF,?BF?EF
?二面角B?EF?D的大小就是向量GD与向量FB所夹的角.?FB?(0,a,?a)
???
A
cos?GD,FB????GD?FBGD?FB?????10 即二面角B?EF?D10E
C
B
F
10的平面角的余弦值为.
10D
19.如图，已知?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1，AB⊥平面BCD，?ADB?60?，
AEAF???(0???1)． ACAD（1）求证：不论?为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60?，求?的值。
E、F分别是AC、AD上的动点，且
解法一：（向量法）：
过点C作Cz//AB ∵AB⊥平面BCD
∴Cz⊥平面BCD 又在?BCD中，?BCD?90?
∴BC?CD
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C?xyz． 又在?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1 ∴BD?2 又在Rt?ABD中，?ADB?60? ∴AB?6 则C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,6),D(0,1,0) （1）证明：∵C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,6),D(0,1,0) ∴BA?(0,0,6),CB?(1,0,0),CD?(0,1,0)
x z A E M B C F N D y ∴BA?CD?0,CB?CD?0 ∴BA?CD,CB?CD 又AB?BC?B ∴CD⊥平面
ABC
AEAF???(0???1) ACAD∴不论?为何值，都有EF//CD ∴EF⊥平面ABC 又EF?平面BEF 不论?为何值，总有平面BEF⊥平面ABC
又在?ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点， 且（2）∵
AE??，∴AC,∵AC?(?1,0,?6)，∴AE??AC???,0,?6?，
??又∵AB?0,0,?6，?BE?AE?AB???,0,6(1??) ，
设n?(x,y,z)是平面BEF的法向量，则n?BE,n?EF 又EF//CD，
?????n?CD,∵CD=(0,1,0),
∴????x?6(1??)z?0?y?0令z??得x?6(1??),y?0 ∴n?(6(1??),0,?)，
∵ m?(0,0,1)是平面BCD的法向量，平面BEF与平面BCD所成的二面角为60?， ∴cos60??n?m|n||m|?1??1?6(1??)2??2?12∴?2?4??2?0，
∴??2?2或??2?2（不合题意，舍去），
故当平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60?时??2?2．
解法二：∵
AE??，∴ AC, 设E（a,b,c）,则(a?1,b,c?6)??(?1,0,?6)，
∴a=1+?,b=0,c=6(1??)， E（1+?,0, 6(1??)）,∴BE?(??,0,6(1??))。 其余同解法一
（2）解法三：设n?(x,y,z)是平面BEF的法向量，则n?BE,n?BF，
AEAF???(0???1) ACAD
EMCECE ∴又在?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1 ?1?? ∴??1??ABACAC
∵
∴BD?2 又在Rt?ABD中，?ADB?60? ∴AB?6 ∴EM?6(1??) 又又
BMAE???，且BC?1 ∴BM?? ∴CM?1?? ∴E(1??,0,6(1??)) BCACCN?BC??
∴
F(1??,?,6(1??))
∴BE?(??,0,6(1??)),BF?(??,?,6(1??))
????x?6(1??)z?0∴?令z??得x?6(1??),y?0 ∴n?(6(1??),0,?) ????x??y?6(1??)z?0
其余同解法一
22.如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点． （I）当a?5时，求证：OC//平面DEF；
（II）当a?4时，求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值；
FEP
AODCB
（III）当a为何值时，在DE上存在点P，使CP?平面DEF？
（I）证：取DF的中点G，连结GE．由三棱柱得，AF//BD//CE，
而BD=1，AF=5，∴ 四边形ABDF为梯形，∵OG为梯形ABDF的中位线 ∴OG//AF，且OG=3
而CE//AF，且CE=3 ∴OG//CE ∴四边形OCEG为平行四边形 ∴GE//OC
又OC?平面DEF，GE?平面DEF ∴ OC//平面DEF
（II）以直线OB．OC分别为x轴．y轴建立如图所示的空间直
角坐标系， AF=a?4，则D．E．F的坐标分别为：D（1，0，1）．E（0，3，3）．F（-1，0，4），
ADOB2G3PCFz Ey
∴DE=（-1，3，2），DF=（-2，0，3） 设平面DEF的法向量n?(x,y,z)， 由?x ?3333?n?DE??x?3y?2z?0得 x?z,y??z 可取n?(,?,1)
2626??n?DF??2x?3z?0平面ABC的法向量可以取m?(0,0,1) ∴cosm,n?m?nmn?191??1412?30 10∴平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
30． 10（III）在（II）的坐标系中，AF=a，DE=（-1，3，2），DF=（-2，0，a-1）．因P在DE上，设DP??DE，则OP?OD?DP?(1,0,1)??(?1,3,2)?(1??,3?,2??1) ∴CP?OP?OC?(1??,3?,2??1)?(0,3,0)?(1??,3(??1),2??1) 于是CP?平面DEF的充要条件就为
?1?CP?DE???1?3(??1)?2(2??1)?0 由此解得，??,a?2 ?4??CP?DF??2(1??)?(a?1)(2??1)?0即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP?平面DEF．
24.图1，在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,E是CD的中点，以AE为折痕将?DAE向上折起，使D为D?，且平面D?AE?平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AD??EB； （Ⅱ）求直线AC与平面ABD?所成角的正弦值．
DECD?ECB
AB图1
A解（Ⅰ）在Rt?BCE中，BE?在Rt?AD?E中，AE?2222BC2?CE2?2，
D?A2?D?E2?2，
AB?2?BE?AE， ∵
AE?BE． ∴∵平面AED??平面ABCE，且交线为AE， BE?平面AED?． ∴
AD??平面AED?， ∵
AD??BE． ∴（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知AD??BE， AD??ED?， ∵
AD??平面EBD?， ∴
AD??平面AED?， ∵∴平面ABD??平面EBD?，且交线为BD?，
如图2，作FG?BD?，垂足为G，则FG?平面ABD?， 连结AG，则?FAG是直线AC与平面ABD?所成的角．
由平面几何的知识可知
EFEC112??，∴EF?EB?． FBAB233在Rt?AEF中，AF?AE2?EF2?2?225， ?93在Rt?EBD?中，
FGD?E26?，可求得FG?． FBD?B926FG30sin?FAG??9?∴．
AF25153