∴当k?2时，O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心. 29. 如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABC?A1B1C1的 底面ABC位于平行四边形ACDE中,AE?2, AC?AA1?4,?E?60?,点B为DE中点. （Ⅰ）求证:平面A1BC?平面A1ABB1. （Ⅱ）设二面角A1?BC?A的大小为?,直线
A1 B1
C1
C AC与平面A1BC所成的角为?,求sin(???)的值.
E 4,?E?60B ?,点B为D DE解:（Ⅰ）方法一、在平行四边形ACDE中, ∵AE?2,AC?中点.
∴?ABE?60?,?CBD?30?,从而?ABC?90?,即AB?BC 又AA1?面ABC,BC?面ABC
∴AA1?BC,而AA1?AB?A, ∴BC?平面A1ABB1 ∵BC?平面A1BC ∴平面A1BC?平面A1ABB1 方法二、∵AE?2,AC?4,?E?60?,点B为DE中点. ∴AB?2,BC?23,AB?BC?16?AC，∴AB?BC
又AA1?面ABC,BC?面ABC，∴AA1?BC,而AA1?AB?A,∴BC?平面
222A 第17题图
A1ABB1
∵BC?平面A1BC ∴平面A1BC?平面A1ABB1 （Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知A1B?BC,AB?BC ∴?A1BA为二面角A1?BC?A的平面角,即?A1BA??, 在Rt?A1AB中,AB?2,AA1?4,AB1?25, z A1 B1 C1 sin??sin?A1BA?AA125AB5A ,cos?? ??C y A1B5A1B5E D 以A为原点,建立空间直角坐标系A?xyz如图所示, B ????x 其中A,0),C(0,4,0),AC?(0,4,0), 1(0,0,4),B(3,1????????A1B?(3,1,?4),BC?(?3,3,0),
?????????n?A1B?0?3x?y?4z?0设n?(x,y,z)为平面A,∴?即?1BC的一个法向量,则????????n?BC?0??3x?3y?0?x?3y? ???z?y?令y?1,得平面A,1), 1BC的一个法向量n?(3,1?????|AC?n|45???则sin?????, ?5|AC||n|4?5
25, 25252555∴sin(???)?sin?cos??cos?sin??????15555A1 sin(???)?1
方法二、由（Ⅰ）可知A1B?BC,AB?BC
又0???, ∴cos??1?sin2???, 即
C1
∴?A1BA为二面角A1?BC?A的平面角,即?A1BA??, 在Rt?A1AB中,AB?2,AA1?4,AB1?25, F A E B1
AA25AB5,cos?? sin??sin?A1BA?1??A1B5A1B5F,连结CF, 过点A在平面A1B于1ABB1内作AF?AC
B
D
AF?平面则由平面A1BC?平面A1BC?平面A1ABB1?A1B,得1ABB1,且平面AA1BC
∴?ACD为直线AC与平面A1BC所成的角,即?ACD??
在中,AF?Rt?ACFAF525AA1?AB452,sin??,cos??1?sin?? ??AC55A1B5252555????1, 即sin(???)?1 5555∴sin(???)?sin?cos??cos?sin??如图4，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，
F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥A?BCE的体积． 解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D， ∴AF⊥平面CDE.
1 （Ⅱ）延长DA，EB交于点H，连结CH，因为AB∥DE，AB=DE，所以A
2为HD的中点．因为F为CD中点，所以CH∥AF，因为AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，则∠DCE=45°，则所求成锐二面角大小为45°．
1（Ⅲ）S?ABC??2?1?1，因DE∥AB，故点E到平面ABC的距离h等
23?2?3． 于点D到平面ABC的距离，也即△ABC中AC边上的高h?213∴三棱锥体积V三棱锥A?BCE?V三棱锥E?ABC??1?3?．
33方法二 （Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（?1，0，0），A（0，0，3），B（0，1，3），E（1，
????2，0）．平面ACD的一个法向量为FQ?(0,1,0)，
????????????????n?CB?0,设面BCE的法向量n?(x,y,z，即)CB?(1,1,3),CE?(2,2,0)则????????n?CE?0,??x?y?3z?0,?取n?(1,?1,0)． ?2x?2y?0,????????????FQ?n0?1?02则cos?FQ,n?????． ????2|FQ||n|2?????|AB?n|0?1?02． ?d???2|n|2∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．
?????（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一个法向量为n?(1,?1,0)，AB?(0,1,0)．点A到BCE的距离
1又BC?5，BE?5，CE?22，△BCE的面积S?BCE??22?3?6．
2三棱锥A?BCE的体积V??6?
1323． ?23