正确答案是 B 。
Mz6Mz?3 d3d6Mzd6M ?max(b)?23??3z
dd2d?212Mzd12M ?max(c)?2??3z
ddd()34212 解：?ma(xa)? ∴选（B）。
第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析
4－1 扭转切应力公式?(?)?Mx?/Ip的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。 （A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴；
（C）等截面圆轴与椭圆轴；
（D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。
解：?(?)?Mx?Ip在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。
4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为?1max和?2max，切变模量分别为G1和G2。试判断下列结论的正确性。 （A）?1max＞?2max； （B）?1max＜?2max；
（C）若G1＞G2，则有?1max＞?2max； （D）若G1＞G2，则有?1max＜?2max。 正确答案是 C 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即?1??2??由剪切胡克定律??G?知G1?G2时，?1max??2max。
4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心圆轴与内、外径分别为d2、D2(??d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A）(1??4)32；
（B）(1??4)32(1??2)； （C）(1??4)(1??2)； （D）(1??4)23/(1??2)。 正确答案是 D 。 解：由?1max??2max得
16Mx16Mx ?33πd1πd2(1??4)1d 即 1?(1??4)3
D2（1）
— 78 —
W1A1d12 ??2W2A2D2(1??2) （2）
（1）代入（2），得
W1(1??4)? W21??223
4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里
层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1 = 2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。
解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等?1??2，因G1?2G2，由剪切胡克定律得交界面上：?1?2?2。 习题4-5图
4－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点a(?a?d/4)的切应变?a??s，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的???关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。 正确答案是 A 。
4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN·m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力；
2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。 解：1．?1max?MxTT3?103?16????70.7MPa WPWPπd3π?0.06316r0 2． Mr?????dA????A1Mx2πMxr4??2π?d??? IpIp4Mr2πr42πr416r41541????16?()??6.25% Mx4Ip6016πd4d44?32MT 3． ?2max?x? 3Wpπd?14??1?()?16?2? ∴
习题4-6图
()???2max??1max?412?????6.67% 41415??1max1??1?()214 4－7 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。
已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚?= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。 解：?轴max?MxT?13?60?106 Wp1πd16 — 79 —
π?663 T1?60?10??10?9?3387N·m
16MT2?60?106 ?套max?x?3Wp2πd?684??1?()?16?80?6π?80317?? T2?60?10??10?9?1?()4??2883N·m
1620??6 ∴ Tmax?T2?2883N·m?2.88?103N·m
4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：
Ts1?n2? Th1?n22R 解：由已知长度和质量相等得面积相等：
22?π(R2?R12) πR0（1） ?max? ?max?Tsπd316?TsR3π?02Th3TSTSR2ThR1 （2）
Th
（3）
π(2R2)(1?n4)16 由（2）、（3）式
3TsR0?3 ThR2(1?n4)（4）
22?R2?R12 由（1） R0 代入（4）
T ∴ s?Th3222(R2?R1)3R2(1?n4)?(1?322n)1?n4?322(1?n)(1?n2)(1?n2)?1?n21?n2
4－9 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为?，横截面上的扭矩均为T = Mx。试：
1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力
?max?2Mx?πD23Mx
2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力
?max?DD??dA????πD? A222Mx2Mx?? ∴ ?? 即： max8πD2?πD2?2πD
习题4-9图
3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。 解：1．Mx?? 2．由课本（8－18）式 ?max?2Mxhb2?3MxπD??2?3Mx?2πD
(a)
(b)
4－10 矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶作用，如图所示。若已知T = 400N·m，试分别确定二杆横截面上的最大切应力。
— 80 —
习题4-10图
解：?amax? ?bmax?Mxc1hb2Mxc1hb2??4000.208?50?502?10?94000.246?70?352?10?9?15.4MPa ?19.0MPa
4－11 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知T = 30N·m，且最大切应力均不能超过60MPa。试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。 解：?amax?Mxπd163?60?106
da?3 ?amax?29.4mm
π?60?10660π?106MxMxMx????60?106 233c1hbc1db0.208db?330016T16?300 db?3 ?cmax?0.02886m?28.9mm 0.208?60?106Mx300???60?106 23c1hb0.246?2dc3002?0.246?60?106?0.02166m?21.66mm
习题4-11图
dc?3 三者长度相同，重量之比即为面积之比。
2πdaAπ0.029422)?0.816 a?42?(Ab40.02886dbπ2daAaπda2π0.0294224??()?()?0.724 2Ac8dc80.021662dc ∴ Aa:Ab:Ac?1:0.816:0.724
4－12 直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚?=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试： 1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解：设轴受T = 73.6N·m时，相对扭转角为?0 且
d?0T ?dxGIp1（1）
习题4-12图
T撤消后，管受相对扭转角?2，则轴受相对扭转角
?1??0??2，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。 ?1??2??0 （2）
TlMlM?l?x?x GIp1GIp1GIp2Ip2Ip1?Ip2（3） （4）
Mx?M?x ∴ Mx?T
?0?1?2（5）
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(a)
?hmax? Ip1 Ip2Tp2MxTTD???? Wp2Ip1?Ip2Wp2Ip1?Ip22（6）
πd4π??(25)4?10?12?38349.5?10?12 3232πD4?32D?2?4?π?754??1?(D)??32??73.6?72.54??4?12?12?1?(75)??10?393922?10m ?? 将Ip1、Ip2值代入（6）得 管：?hmax 轴：?smax75?10?32??6.38MPa
(38349.5?393922)?10?1225?393922?10?3Ip2?TMxdd2??????21.86 MPa
Ip12Ip1(Ip1?Ip2)2(38349.5?393922)?38349.5?10?1273.6? 4－13 由钢芯（直径30mm）和铝壳（外径40mm、内径30mm）组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶，如图所示。已知铝壳中的最大切应力?amax?60MPa，切变模量Ga = 27GPa，钢的切变模量Gs = 80GPa。试求钢芯横截面上的最大切应力?smax。 解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同?s??a??（r = 15mm） ?amax? ?a(r)? Ma?Ma WpaMar?Ga?a IparrGaIpa?aR
r ∴ ?amax?Wpa? ?smax(r)?GaIpa?a
习题4-13图
Gs??amax?Wpa?rGs??amax?r80?60?15Ms?Gs?s?Gs?a????133MPa WpsGa?IpaGa?R27?20 4－14 若在圆轴表面上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状？使小圆产
生如此变形的是什么应力？
答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。 小圆方程为：x2?y2?R2，R为小量 小圆上一点A(x,y)，
当圆轴扭转时，A无水平位移，所以x??x（平面假设） d A垂直位移：v?(d?x)?A(x,y)2L
2ly y??y?v?y?(d?x) ∴ y?y??(d?x)?2L?2LA(x?,y?)x?
2 ??? 将坐标代入：(x?)??y??(d?x?)??R2
2L??2 (1??24L2)(x?)?2(2?2L)x?y??(y?)?2(222?2d4L2)x??2?d2Ly??(d2?24L2?R2)?0
二次项系数：?2?1????2L?0，所以为椭圆型方程。 14L2L*/(bIz)应用于实心截面的条件，有下列论述，试分 4－15 关于弯曲切应力公式??FQSz析哪一种是正确的。
（A）细长梁、横截面保持平面；
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