解：ta?n?
3 42?y31?()21?tan?4?0.28 cos2???21?tan?1?(3)24p?100?x??62.5p
2?8p?1000?y??31.25p
4?862.5p?31.25p62.5p?31.25p?cos(2(??90?))??x??60
2260p??1.412MPa 46.88?15.63?0.28?x??x??90??y(a)
x'
5－15 图示外径D = 760mm、壁厚?= 11mm的钢管，上端与蓄水池A连接，下端与泵房B连接。已知水的密度?= 1000kg/m3。试求钢管在静态下的最大正应力与最大切应力。 解：管内内压p??gh?1000?9.8?122?10?6?1.20MPa ?1??环向? ?3?0 ?max??1??32?40.85?0?20.43MPa 2习题5-15图
1.20?(760?11)?40.85MPa
2?11 5－16 结构中某一点处的应力状态如图所示。试：
1．当?xy?0，?x?200MPa，?y?100MPa时，测得由?x、?y引起的x、y方向的正应变分别为?x?2.42?10?3，?y?0.49?10?3。求结构材料的弹性模量E和泊松比?的数值。 2．在上述所示的E、v值条件下，当切应力?xy?80MPa，?x?200MPa，?y?100MPa时，求?xy。
1?v(?x??y)E 解：（1）两式相除
1?v?x??y?(?x??y)E1???x??y?x??y200?1002.42?10?3?0.49?10?3?????0.5
1???x??y?x??y200?1002.42?10?3?0.49?10?3?x??y? 解得r? E?(1??) （2）G?(?x??y)1200?100?(1?)?68.7MPa
(?x??y)32.42?10?3?0.49?10?313 ?xyE68.7?103??25.77?103MPa
12(1??)2(1?)3?xy80???3.1?10?3 3G25.77?10习题5-16图
5－17 图示结构中，铝板的左边和下边被固定，上方与右方与刚性物体之间的间隙分
别为?y= 0.75mm，?x= 1.0mm。已知E = 70GPa，?= 0.33。??24?10?6?1/℃。试求温升?t= 40℃和?t= 80℃时板中的最大切应力（假定板在自身平面内受力不发生弯曲）。 解：（1）当?t= 40℃
t?6?0.768mm＜?x (?l)?x?lx?t???800?40?24?10t?6?0.576mm＜?y (?l)?y?ly?t???600?40?24?10 所以铝板内无温度应力，?max?0
（2）当?t= 80℃
t?6?1.536mm＞?x (?l)?x?800?80?24?10
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习题5-17图
qyqxqyqxt?6 (?l)??1.152mm＞?y y?600?80?24?10t ?x?800??x?(?l)?x
800t[?qx??(?qy)]??x?(?l)?x E1?x?(?x?v?y)
E1.536?1.0∴qx?0.33qy?70?103?()?46.9
800600t[?qy??(?qx)]??y?(?l)?y E1.152?0.75qy?0.33qx?70?103?()?46.9
600（1）
（2）
所以解得 qx = qy = 70MPa（压） ?1?0，?2??3??70MPa ?max?试证明：
?x?E ?y?E?x???y1??2?y???x0?(?70)?35MPa 2 5－18 对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、?，且由实验测得?x和?y。
1??2?(?x??y) ?z??1??E(?x??y) 解：?x??y?（1） 1??E(?x??y) ?x??y?（2） 1??2v?y??2?x?? （1）＋（2），2?x?E??1?v21?v2?
??yx （1）－（2），2?y?E??1?v2?1?v2??2v?2??? ?? ∴ ?x?E?x?v?y1?v21?v2??E?(?x??y)??(?x??y) ?z??(?x??y)???EE1??1?? 5－19 图示构件在z方向上的正应变被限制为零，即?z= 0。这时垂直这一方向上的截
，?y?E?y?v?x
面保持平面，而且两相邻截面间的距离保持不变，此即所谓平面应变问题的一种。已知?x、?y和E、?。试证明：
?z??(?x??y)
1[(1??2)?x??(1??)?y] E1 ?y?[(1??2)?y??(1??)?x]
E1解：?z= 0，[?z??(?x??y)]?0，所以?z??(?x??y)
E ?x?
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习题5-19图
?x?
???y?
??1[?x??(?z??y)]E1{?x??[?(?x??y)??y]} E1[(1??2)?x??(1??)?y]E1[?y??(?z??x)]E1{?y??[?(?x??y)??x]} E1[(1??2)?y??(1??)?x]E 5－20 承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如图所示。已知内压p = 3.5MPa，材料的E = 75GPa，?= 0.33。试求圆筒的半径改变量。 解：?轴? ?环 ?径3.5?(254?2?7.6)?59.36MPa
4?7.63.5?(254?2?7.6)??118.72MPa
2?7.6??3.5MPa
2π(r??r)?2πr?r?
2πrr1?r??环?r?[?环??(?轴??径)]E
1 ?[118.72?0.33(59.36?3.5)]?254?0.34mm75?103 ?环? 5－21 液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa，?= 0.30。试求当内压p = 10MPa时，液压缸内径的改变量。
解：缸体上 ?轴?0 ?环? ?径10?(50?4)?115MPa
2?2??10MPa
1[115?0.3(0?10)](50?2?2)?2.65?10?2mm 3205?10习题5-21图
?d内? 5－22 试证明对于一般应力状态，若应力应变关系保持线性，则应变比能
v??11222222[?x??y??z?2?(?x?y??y?z??z?x)]?(?xy??yz??zx) 2E2G121212121212 解：应变比能v???x?x??y?y??z?z??xy?xy??yz?yz??zx?zx（1）
1???[?x??(?y??z)]x?E????1[???(???)]zx?yEy????1[???(???)]xy?zEz 广义胡克定律?
1?????xyGxy???yz?1?yzG??1??zx??zxG?（2）
（2）代入（1）得：
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v??11222222[?x??y??z?2?(?x?y??y?z??z?x)]?(?xy??yz??zx) 2E2G 5－23 试求图a中所示的纯切应力状态旋转45°后各面上的应力分量，并将其标于图
b中。然后，应用习题5－22中的结果，分别计算图a和b两种情形下的应变比能，并令二者相等，从而证明：
G?E 2(1??) 解：?1?|?0|，?3?1?|?0|，?2?0
由（a）图
v??1(|?0|)2 2G由（b）图
v??1[(|?0|)2?02?(?|?0|)2?2?|?0|?0 2E
习题5-23图
?0?(?|?0|)?|?0|(?|?0|) ] ?1??(|?0|)2 E11??E(|?0|)2?(|?0|)2 ∴G? 2GE2(1??)1?2?(?1??2??3) E 两式相等
5－24 试证明主应力为?1、?2、?3的三向应力状态，其体积应变为
??? 解：由广义胡克定律：
1[?1??(?2??3)] E1 ?2?[?2??(?3??1)]
E1 ?3?[?3??(?1??2)]
E1?2?(?1??2??3) ?1??2??3?E1?2?(?1??2??3) 体积应变 ????1??2??3?E ?1? 5－25 关于用微元表示一点处的应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）微元形状可以是任意的；
（B）微元形状不是任意的，只能是六面体微元；
（C）不一定是六面体微元，五面体微元也可以，其它形状则不行；
（D）微元形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的应力。 正确答案是 D 。
5－26 对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的点A，试用平衡概念分析下列四种应力状态中哪一种是正确的。
正确答案是 C 。 解：（A）不满足切应力互等定律； （B）不满足平衡；
（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡；
（D）不满足两个方向的平衡。
习题5-26图
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5－27 微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是： （A）二向应力状态； （B）单向应力状态； （C）三向应力状态； （D）纯切应力状态。 正确答案是 B 。 解：?1? ?2?50?5050?502?()?502?100MPa 2250?5050?502?()?502?0MPa 22习题5-27图
?3?0，为单向应力状态。
5－28 试分析图示的四个应力状态是否等价，有下列四种答案。 （A）四者均等价；
（B）仅（a）和（b）等价； （C）仅（b）、（c）等价； （D）仅（a）和（c）等价。 正确答案是 D 。 解：
（a）图：?x?0，?y?0，?xy???0
（b）图：?x??22 ?y??0?(??0)??x?0
?0?(??0)?0?(??0)cos(2?45?)?0
?xy?sin(2?45?)??0 2(??)??0(??0)??0?cos(2?45?)?0 （c）图：?x?022 ?y??0?(??0)??x?0 (??0)??0sin(2?45?)???0 2 （d）图：?x???0，?y??0，?xy?0
?0?(??0) ?xy?
习题5-28图
5－29 关于习题5－28图示的四个应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）其主应力和主方向都相同； （B）其主方向都相同，主应力不同； （C）其主应力、主方向都不相同； （D）其应变比能都相同。 正确答案是 D 。
解：四个应力状态的主应力，?1??0、?2?0、?3???0；其主力方向虽不全相同，但应变比能与主应力值有关，因此它们的应变比能相同。
5－30 关于图示应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
习题5-30图
（A）最大主应力为500MPa，最小主应力为100MPa； （B）最大主应力为500MPa，最大切应力为250MPa； （C）最大主应力为500MPa，最大切应力为100MPa； （D）最小主应力为100MPa，最大切应力为250MPa。 正确答案是 B 。
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