解：
?0?0?1?cos2??cos(?2?)?0??0x????222??0sin2? 左微元? sin(?2?)???0???xy?22??1?cos2??0y??0???x????2?3?co2s??????????0xx0?2?sin2? 叠加 ??0 ??xy??x?y??0??2??1?co2s??????0??0yy?2?3?cos2?1?cos2???1?13?cos2?1?cos2?22sin2?22?0?(?)?0?4(??0)2???2?22222 ???3?0?(1?cos?)?0?(1?cos?)?0
?1??2?? 面内最大切应力：?max 该点最大切应力：?max??0cos?
2???31?cos??1??0
22 左微元??x??(?0)sin(2?(?30?))????(?0)sin(2?30?)? 右微元??x?033 ?0，??y?0????0，??xy??0cos(2?(?30?))?x??222?033????0??????(??)cos(2?(30?))??， ?0，??y???xy0x0222??0 ???3?0，?xy??? 叠加 ?x???xy???xyy???yx???y?3?0，?y??? ?1?3?0，?2?0，?3??3?0
?|? 面内|?max?3?0
2???3|?1?3?0
2?1??3 该点|?max??50?(?30)50?(?30)??cos(2?(?45?))??90MPa??x?80??22???? 叠加??y?0??(50?30)?10??10MPa
????70??50?(?30)sin(2?(?45?))??30MPaxy???2????1?90?101?100MPa22??[90?(100)]?4?30?? 主应力?3?22?0MPa ??2?0?|?|?max|? 面内及该点：|?max?1??32?100?0?50MPa 2 5－4 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB相垂直的面上，其值为?0。试求应力分量?x、?y和?xy。 解：?x??02??02cos(2?(?2))?0?1?co2s???0co2s? 2 — 88 —
?y??0??x? ?xy??021?cos2??0??0sin2? 2sin(2?(??))???02sin2?
xA?x?10060?x ?B ??α ? ?A?α 60 BC ?92MPa
(a) 习题5-4图 习题5-5图 (a)
5－5 从构件中取出的微元受力如图所示，其中AC为自由表面（无外力作用）。试求?x和?xy。
OxyO?yx0?(?x?100)?cos(2?60?)
22 0.75?x??25 ∴?x??33.3MPa
解：?100??x?100? ?yx? ?xy0?[?33.3?100]sin(2?60?)?57.7MPa
2???yx??57.7Mpa
5－6 构件微元表面AC上作用有数值为14MPa的压应力，其余受力如图所示。试求?x?x?92?14A和?xy。
解：
cos2??2cos2??1??0.7??1 ?2??12?0.72?????0.342sin2??2sin?cos?10.7 ?2?2222习题5-6图 1?0.71?0.7?0.94(??92?14)?14(?14)?(?x?92?14)?14?(?0.342)?92 x22 解得?x?37.97MPa
2??xy?x14MPaB?yx
(a)
C92MPa
?yx?(?14)?(37.97?92?14)?0.94??74.25MPa
2? 5－7 受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该
2pA60点处的主应力。
3p(2p,3p)D ? r3p ?2?1120? OC2p B
E(2p,?3p) 习题5-7图 习题5-7解图
(a)
? 解：应力圆半径r?3p?2p sin60?— 89 —
OC?2p?rcos60??2p?2p?3p
??1?OC?r?5p ???2?OC?r?p
???0?312 5－8 从构件中取出的微元，受力如图所示。试： 1．求主应力和最大切应力；
2．确定主平面和最大切应力作用面位置。
x
140 70MPa120 120
(a)
习题5-8图
解：1．主应力?max
160MPa??1701?702?4?1202??? ??322?90MPa
???140MPa?2???160?(?90) ?max?13??125MPa
22 2．主平面，?max作用面位置。
12?120)??36?52?12?? ?1主平面，?P?arctan(?270?090MPa140MPa36o52'12??160MPa(?1)
(b)
35MPa125MPa35MPa8?7'48''45?x
?1(c) 5－9 一点处的应力状态在两种坐标中的表示方法分别如图a和b所示。试： 1．确定未知的应力分量?xy、?x?y?、?y?的大小；
2．用主应力表示这一点处的应力状态。
解：1．?x???2?130?x
习题5-9图
(c)
cos(2?60?)??xysin(2?60?)
22100?50100?50?co1s2?0??xysin12?0 代入数据 100?22 ?xy??43.3MPa
??x??y?x??y ?y???x??y??x??100?50?100?50MPa ?x?y??100?50sin(2?60?)?(?43.3)cos(2?60?)?43.3MPa 2 — 90 —
??1100?501?125MPa?(100?50)2?4?(?43.3)2???? 2． ??222?25MPa
???3?0MPa2?(?43.3)1)?30? ?P?arctan(?2100?50 5－10 试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为MPa。 140MPa14040MPa
?150 yx 15090 300240MPa200MPa 90 (a) (b)
(a-1) (b-1)
习题5-10图
??1300?1401?390MPa?(300?140)2?4?(?150)2???? 解：图（a）：??322?50MPa
?Pa??2?90M390?50?170MPa ?max?2??1200?401?290MPa?(200?40)2?4?(?150)2???? 图（b）：??222??50MPa
?Pa??3??90M???3290?(?90) ?max?1??190MPa
22 5－11 对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力?max＜160MPa，试求?xy取何值。
解：1．当半径r＞OC
1240?1402(240?140)2?4?xy? 22 即 |?xy|?183.3MPa时
（1）
?1???3??240?14012?(240?140)2?4?xy 22 ?max??1??32?121002?4?xy?160 2 解得|?xy|<152MPa
由（1）、（2）知，显然不存在。 2．当r＜OC
1240?1402(240?140)2?4?xy? 22 即 |?xy|＜183.3MPa时
（2）
习题5-11图
240?1401?2?(240?140)2?4?xy??1? ? 22??3?0?习题5-12图
???38012?1002?4?xy?160 解得|?xy|＜120MPa ?max?13?244 所以，取|?xy|＜120MPa。
5－12 对于图示的应力状态，若要求垂直于xy平面的面内最大切应力???150MPa，试求?y的取值范围。
解：应力圆半径r????150MPa
E(?y.?yx)E(?y,?yx)?D'Or?O
D'— 91 — Cr?C?
Dr =150 r?150D(?140.?80)(?140.?80) 1． CD??1502?802?126.9MPa OC??140?126.9??13.1MPa
??13.1 2 ?y?113.8MPa
?y?(?140) 2． CD??126.9
OC??140?126.9??266.9MPa
??266.9 2 ?y??393.8MPa
?y?(?140) 5－13 图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。 1．只承受轴向载荷FP = 250 kN；
2．只承受内压p = 5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p = 5.0MPa（两端封闭）
xx'
20xx' 20?x?x?x'
?x'y' ?x'y' ?y ?y
?x习题5-13图
(a) (b)
解：
?FP250?103 （1）图a：?x???34.07MPa（压）
πD?π?(300?8)?8?34.07?34.07?cos(2?20?)??30.09MPa 22?34.07sin(2?20?)??10.95MPa ?x?y??2pD5?(300?8)??45.63MPa （2）图b：?x?4?4?8pD5?(300?8)??91.25MPa ?y?2?2?845.63?91.2545.63?91.25?cos(2?20?)?50.97MPa ?x??2245.63?91.25sin(2?20?)??14.66MPa ?x?y??2 （3）图a、图b叠加：?x?45.63?34.07?11.56MPa
?x?? ?y?91.25MPa ?x?? ?x?y?11.56?91.2511.56?91.25?cos(2?20?)?20.88MPa 2211.56?91.25?sin(2?20?)??25.6MPa
2 所以也可（1）与（2）结果叠加得到。
5－14 图示的薄壁圆筒，由厚度为8mm的钢板制成，平均直径1m。已知钢板表面上点A沿图示方向正应力为60MPa。试求圆筒承受的内压p。
— 92 —