第8章 滑移线理论及应用
§8. 1 平面应变问题和滑移线场
滑移线理论是二十世纪20年代至40年代间，人们对金属塑性变形过程中，光滑试样表面出现 “滑移带”现象经过力学分析，而逐步形成的一种图形绘制与数值计算相结合的求解平面塑性流动问题变形力学问题的理论方法。这里所谓“滑移线”是一个纯力学概念，它是塑性变形区内，最大剪切应力(?max）等于材料屈服切应力（k）的轨迹线。
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零（设duZ=0），故只有三个应变分量（d?x、d?y、d?xy），也称平面应变问题。 根据塑性流动法则，可知
?Z??2?(?x??y)/2??m??p （8-1）
式中，?m为平均应力；p称为静水压力。
根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量也只有三个（?x、?y、
?xy）（见图8-1a），于是平面应变问题的最大切应力为：
?max?(?1??3)/2?[(???y)/2]??22xyx （8-2）
可见，这是一个以?max为半径的圆方程，这个圆便称为一点的应力状态的莫尔圆（见图8-1c）。图中设?x
根据平面流动的塑性条件，?max?k（对Tresca塑性条件k??T/2；对Mises塑性条件k??T/3.
于是，由图8-1(C)的几何关系可知，有
??x????p?ksin2?
y??p?ksin2? （8-3） ?kcos2?
?xy式中，p(???m??(?x??y)/2)——静水压力
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?——定义为最大切应力?max(?k)方向与坐标轴Ox的夹角。
通常规定为Ox轴正向为起始轴逆时针旋转构成的倾角?为正，顺时针旋转构成的倾角?为负（图8-1中所示?均为正）。由图8-1可知，倾角?的数值大小与坐标系的选择有关，但静水压力P为应力不变量，不会随坐标系的选择而变化。
a） b） c）
（a）塑性流动平面（物理平面），（b）???正交曲线坐标系的应力特点，（c）应力莫尔圆
图8-1 平面应变问题应力状态的几何表示
现设塑性流动平面上的点P在莫尔圆上的映射点（称Prager极点）为P'点，该点为过点B（?y、?xy）引平行?轴的平行线与莫尔圆的交点。BP'轴表示塑性流动平面中的X
轴。根据几何关系，连P'C得最大主应力?1的作用方向，连P'D得最小主应力?3的作用方向。连P'I得?max(?k)的作用方向，常用?表示；连P'Ⅱ得??max?k的作用方向，常用?表示。由此可知：自?1作用方向顺时针旋转?/4，即为?方向；逆时针方向旋转
(??/4)即为?方向。并且?1的作用方向总是位于???构成的右手正交曲线坐标系的第
一或第三象限。据此，根据已知的?1作用方向便可确定???的走向。
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应力?max）等于材料常数k。如图8-2所示，在x-y坐标平面上任取一点P1，其?max?k的，即?方向为??0，沿??0方向上取一点P2，其?方向为??1，依此取点a2，其?线方向为??2，依次连续取下去，直至塑性变形区的边界为止??，最后获得一条折线P1-P2-P3-P4??，称为?线。按正、负两最大切应力相互正交的性质，由P点沿与??的垂直方向上，即在P点的(??max)的，即?方向上取点，也可得到一条折线
P1?P'2?P'3?P'4??，称为?线。当所取点间距无限接近时，以上两折线便为光滑曲线。
依此从线上的其他点，如从点P1、P2、P3??和P'1、P'2、P'3??出发，同样可作出许多类似的滑移线，布满整个塑性变形区，它们由两族相互正交的滑移线网构成，称为滑移线场。其中，? 线族上的????max?k,?线族上的?????max?k。两滑移线的交点称为结点。由此可见，滑移线为塑性变形区内最大剪切应力等于材料屈服切应力的迹线，表明
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曲线上任一点的切线方向即为该点最大切应力的作用方向。
由图8-2可知，滑移线的微分方程为：
dydx??tg? 对?线
（8-4）
dydx??tg(???/)??ctg? 对?线
图8-2 x-y坐标系与???滑移经网络
以上分析表明，在力学上滑移线应是连续的。但根据金属塑性变形的基本机制是晶体在切应力作用下沿着特定的晶面和晶向产生滑移，滑移结果在试样表面显露出滑移台阶，而滑移台阶是原子间距的整数倍，是不连续。因此，滑移线的物理意义是金属塑性变形时，发生晶体滑移的可能地带。只有特定的晶面和晶向的切应力达到金属的临界屈服切应力时才会使晶体产生在的滑移变形。
滑移理论法是一种图形绘制与数值计算相结合的方法，即根据平面应变问题滑移线场的性质绘出滑移线场，再根据精确平衡微分方程和精确塑性条件建立汉盖（Hencky）应力方程，求得理想刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及变形力的一种方法。
§8. 2 汉盖（Hencky）应力方程——滑移线的沿线力学方程
本节讨论，若知道塑性流动平面内的滑移线场，如何确定场内任意点的应力值？ 由平面应变问题的微分平衡方程
???x??xy?xx???yx?y???yy?0
??0
将式（8-3）代入上式，得
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?p?x?p?y?2kcos2??2ksin2????x???x?2ksin2??2kcos2????y???y?0 （8-5）
?0上式为只含两个未知数（p、?）的方程组，按理可以求解。但是由于是一个偏微分方程组，直接求解仍然困难。比较简单的求解方法是沿滑移线积分进行求解。为此，需将式（8-5）变换成以正交曲线坐标?、?为参数表达形式。
现设直角坐标系x-y的原点与正交曲线坐标系?、?的原点相重合。?线上P点的切线与ox轴的倾角为?，则过P点的?线切线与ox轴的倾角为??p?x?p?y???x???y??/2??。
将式（8-5）第一式乘以cos?，第二式乘以cos?，然后两相加，经整理后得
(cos??sin?)?2k(cos??sin?)?0
由方向导数公式
?f???cos??f?x?sin??f?y知，上式可变换成沿?线的微分方程
(p?2k?)?0
?p???2k?????0或
??? （8-6a）
同理，将式（8-5）第一式乘以sin?，第二式乘以cos?，然后两式相减，经整理后，得：
(sin??p?x?cos??p?y)?2k(sin????x?cos????y)?0
根据方向导数公式，得沿?线的微分方程
?p???2k?????0或
???(p?2k?)?0 （8-6b）
将式（8-6a）沿某一?线积分，则得
p?2k??C1(?)
因为沿?线族中的某一条滑移线移动时，?坐标为定值，因此积分常数C1（?）为常数，即沿某一?线积分，得到
pa?2k?a?pb?2k?b?C1(?)?常数
（8-7a）
或得关系式
pa?pb?2k(?b??a)同理，沿某一?线积分，则得
p?2k??C2(?)
得
pa?2k?a?pb?2k?b?C2(?)?常数
或得关系式
pa?pb?2k(?a??b) （8-7b）
上式还表达成
?pab??2k??
ab 对?线取“+”号
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对?线取“-”号 （8-8） 式中，?pab?pa?pb
??ab??a??b
上式表明，沿滑移线的静水压力差（?pab）与滑移线上相应的倾角差（??ab）成正比。故式（8-8）表明了滑移线的沿线性质。
式（8-7）或（8-8）为1923年由Hencky导出，称为汉盖应力方程。由于式（8-6）是根据微分平衡方程和塑性条件而导出的，因此，汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足了塑性条件方程。
根据以上分析，对k为定值的理想刚塑性材料，如给定了滑移线场，则滑移线上的?角便是确定的。根据边界应力条件，确定边界上的?o与po值后，按式（8-8）便可计算出该滑移线场内上任意一点的p值，进而按式（8-3）求出该点的?x、?y和?xy。依此逐渐求得整个塑性区内各点的应力值。现在的问题是如何绘制出变形区的滑移线场，这就需要进一步了解滑移线的几何性质。
图8-3 证明Hencky第一定理的两对滑移线
§8. 3 滑移线的几何性质
一、汉盖第一定理
同族的两条滑移线（如?1和?2线）与加族任意一条滑移线（如?1或?2）相交两点的倾角差??和静水压力变化量?p均保持不变。
证明：如图8-3所示，两对?、?线相交构成曲线四边形ABCD。按汉盖应力方程式（8-7），有沿?1线从点A→点B。
pA?2k?A?pB?2k?B
再沿?2线从点B→C点
pB?2k?B?pc?2k?c于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
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