则得
x(m,n)?[y(m,n?1)?y(m?1,n)?Ax(m?1,n)?Bx(m,n?1)]/(A?B)
（8-14）
y(m,n)?[Ay(m,n?1)?By(m?1,n)?ABx(m?1,n)?ABx(m,n?1)]/(A?B)据此，可依次逐渐求得场内全部结点的坐标，依编码连线，从而绘制出等倾角差为??的滑移线网。
2）特征值问题
这是已知一条不为滑移线的边界AB上任一点的应力分量（?x、?y、?xy）的初始值，求作滑移线场的问题，即所谓柯西（Cauchy）问题。
如图8-8所示，将边界线AB分成若干等分，等分点的编码为（1，1）、（2，2）、??（m, m）。由莫尔圆的关系式，计算出该边界上等分点的参数p(m, m)和?(m,m)。
A
α
α1(1,0)
???2β
???2
(0,0)
?(1,1)
O
? b1(1,1)
B
图8-8 特征值问题计算示意图 图8-9 混合问题计算示意图
?pk?(??k?(1/2)tg?1x??y)??p(m,m)
??y)/(?2?xy)]??(m,m)[(?x （8-15）
?1)再利用汉盖第一定理，计算出形区内结点（m, m+1）上的p(m, m+1)和?(m,m
p(m,m?1)?(1/2)[p(m,m)?p(m?1,m?1)]?k[?(m,m)??(m?1,m?1)]
?(m,m?1)?(1/2)[?(m,m)??(m?1,m?1)?[p(m,m)?p(m?1,m?1)]/(4k)
依次计算出所需结点的p和?值，以及坐标（x, y）的位置，并依编码大小连续，得到整个滑移线场。
对于边界线AB为直线的简单问题，且为均匀应力场的情况，如直线自由表面，由式（8-12）可知，此时将得到一个以AB为斜边的等边直角三角形均匀场块。
3）混合问题
这是给定一条α线OA，和与之相交的另一条不是滑移线的某曲线OB（可能是接触边界线或变形区中的对称轴线）上倾角?1值（见图8-9）。如对称轴线上，其?1等于?/4。
先假设找到了给定滑移线上点O附近的第一条?1线，它与滑移线?和边界线的交点为a1（1，0）和b1（1，1），根据以弦代弧的几何关系，得
?a1Ob1?(1/2)[?(0,0)??(1,0)]??(0,0)???
191
?/2
?Ob1a1????/2??(1,1)????Oa1b1??/2????/2????/2??/2??(1,1)????/2
?/2
由于三角形三个内角之和为?，因此得
?????(0,0)??(1,1)????
式中，???和???分别为所预选的?、?线的倾角差。
于是由汉盖第一定理，可计算出点a1和b1的静水压力
p(1,1)?p(0,0)?2k(???????)
至于点a1和b1的坐标位置，可根据三角形正弦定理求出。
找到?1后，便可按黎曼问题计算出其余各结点的坐标，绘制出滑移线场。
例题：张角为3?/4的双心扇形场的结点计算。
当A、B点为应力奇异点时，且AB上没有切应力?k作用时，可绘制出图8-10所示的两条滑移线；以A、B为圆心，(2/2)AB长为半径所绘的两圆弧BCA（为?线）和ACE（?线），于是按黎曼问题可计算出各结点的坐标，最后连成光滑曲线，得整个滑移线场（见图8-10b）。
a）
b）
图8-10 双心扇形场
（a）有心扇形场的近似图解法 （b）双心扇形场（张角??135?）
192
若选取倾角差???????????5?，将弧CD和CE等分成27分，设各等分点的编
码为（1，0）、（2，0）、??（27，0）和（0，1）、（0、2）、??（0，27）。由图可知
?(m,0)??(0,0)?m?? ?(0,n)??(0,0)?n?? 式中，?(0,0)??/4为对称轴上的倾角值，n?m?1~27。
于是，按式（8-12）可计算出相邻结点（1，1）、（1，2）、（1，3）??，（2，1）、（2，2）、（2，3）??（m, n）的?(m,n)值（m?27,n?27）。
由于，OA=OB=
x(0,n)?y(0,n)?1?2，并根据几何关系知
2sin(?/4?n??)?x(m,0) 2cos(?/4?n??)?y(m,0)
将它们代入式（8-13），便可计算出其余结点（m, n）的坐标值，连接成滑移线场（图8-10b）。
§8. 5 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
金属塑性加工中，许多平面应变问题的滑移线场是由三角均匀场和简单扇形场组合而成的，称为简单滑移线场问题，如平冲头压入半无限体、平冲头压入、某些特定挤压比下的挤压、剪切乃至切削加工，如图8-11所示。
a） b）
c）
193
v0
v0
d）
图8-11 不同平冲头压入时的滑称线场
a) 没滑平冲头压入（扇形张角θ=π/2） b) 糙粗光滑平冲头压入（扇形θ=π/2）
c) 平冲头压入（扇形张角θ=π/2） d) 平冲头压入（扇形张角θ=π/2）
a）光滑平冲头压入（扇形张角?c) ????/2） b）糙粗光滑平冲头压入（扇形张角???/2）
?2,???2
d) f=0 f=0.5
例1. 平冲压入半无限体
平冲头压入半无限体是指窄形冲头单侧压入厚工件（工件高h与冲头宽度W比≥8. 3）的塑性变形过程。冲头压入时，冲头下部的金属受到压缩变形，同时使冲头下部受压挤的金属向冲头两侧附近和自由表面流动而隆凸（见图8-11a）。若冲头Z向的接触尺寸比冲头宽度大得多，便可作平面应变题处理。这类问题用工程法是无法解决的，而用滑移线法求解却十分方便。
根据上述变形特点，若设AB为光滑接触表面时，可取摩擦应力?k?0和工作压力?y为均匀分布。AC和BD为自由表面，但都不是滑移线。由以上边界上的应力特点，按柯西问题可绘出其滑移线场块，如△AOE、△BOF、△ACG和△BDH均为均匀应力场块。因冲头角部A、B为应力突变点，即为奇异点，于是按黎曼问题可作出四个均匀应力场块之间由两上有心扇场形相连接，扇心张角为?/2，根据自由表面部位y方向为主应力?1的方向，可确定GC为?线、GA为?线（见图8-11b）。
由于冲头两侧为自由表面，根据上节所述应力边界条件，可得的?c??/4和pC?k， 金属塑性加工中，许多平面应变问题是由三解均匀场和简单扇形场组合而成，称为简单滑移线场问题，如平冲头在压入无限体，平冲头压入等（图8-11）。因此△ACG为均匀应力场，根据?1方向为x轴向，可知GC为?线、GA为?线。
已知由自由表面上的?C??/4和pC?k，以及光滑接触表面上?o???/4。根据汉盖应力方程式，得到
po?pc?2k(?c??o)?k(1??)
194
因而，得
?yo??po?ksin2?o??k(2??)
因为AB面上应力是均匀分布的，所以平均单位压力为
p???yo?k(2??)
以及相对应力因子
n??p/2k?1??/2?2.57
以上解叫Hill解。
对于冲头接触表面粗糙的压入，即接触摩擦应力为?k?k时，其滑移线场如图8-11b所示。这个滑移线场是1920年由L. Prandtl绘出的，他从实验中观察到粗糙冲头下面存在一个接近等腰直角三角形△ABC大小的难变形区，该区内的金属受到强烈的等值三向压应力（静水压力）的作用，不发生塑性变形，好像是一个粘附在冲头下面的刚性金属楔，成为冲头的一个补充部分。和前述情况一样，可以绘制滑称线场（见图8-11b），并计算出平均单位压力
p???yo?k(2??)
以及相对压力因子
n??p/2k?1??/2?2.57
此外，上述组合滑移线场还适用其他一些场合，如图8-11c所示，只是扇形张角???/2。
对于上述扇形张角???/2的情况，只要沿自由表面取一辅助坐标x'?y'，并利用滑移线场中，只有?角与坐标选择相关，而静水压力与坐标选择无关的性质。由自由表面上D点处?'yD??'D??/4，可得p'D?k?pD，由图可知
?D??'D??0和
，可得
n??p/2k?1?(?/2??)?1?? 式中，??(?/2??) ，为扇形张角。 如果扇形张角?图8-11d）
??图8-12 板条平面应变正挤压（f=0
Hh?3，不计死区）
，便是平面压印的情况（见
例2 光滑模面的平面应变挤压
平面应变挤压是一种无宽向变形，只有厚度的减薄与长度增加的挤压过程，现讨论光
滑模面平面应变挤压板条，且挤压比（H/h）=3的情况。
这种特殊挤压比的平面应变板条挤压的滑移线场如图8-12所示。它也是由均匀三角形场块和有心扇形场构成，其中由于AB界面上无摩擦，按柯西问题可作出均匀应力场块△ABC。在对称轴的出口处?xD?0，为代数值最大的主应力?1，据此可确定场中?、?线的方向。
195