由于出口处?xD??pD?ksin2?D?0，得pD?k。由图知?D???/4，?C??3?/4，因此沿?线，得
pC?pD?2k(?D??C)?k(1??)
?xC??pC?ksin2?C??k(2??)
根据力平衡条件，得单位挤压力
p???xC(H?h)/H??(2/3)?xC?(2/3)k(2??)n??p/2k?(2??)/3?1.71
图8-13列举了其他几种特殊挤压情况的板条平面应变正挤压、反挤压及不对称挤压时滑移线场。
a） b）
c）
图8-13 几种特殊情况下的板条平面应变挤压的滑移线场及速端图 （a）正挤压（H/h = 2, f = 0） （b）反挤压（H / h = 2. 0, f = 0） （c）反挤压（H / h = 2, f = 0） （d）不对称正挤压（H / h = 2. 5, f = 0）
d）
§8. 6 双心扇形场问题及实例
这类滑移线场在塑性加工平面应变问题上应用十分广泛：有对称双心扇形场，如厚件压缩和简单模锻等；不完全对称双心扇形场，如挤压、厚板轧制与拉拔等；以及扇形场扩张的滑移线场，如薄板压缩和薄板轧制等（见图8-14）。
例1 平砧压缩高件——对称双心扇形场
上节讨论过平冲头压入半无限高件的情况，塑性变形只发生在冲头下和两侧附近的自由表面。当上下锤头上下对称压缩工件的相对高度为1≤h/w≤8. 3 时，塑性变形将深入到
196
工件的整个高度内，锤头两侧的金属不再隆凸。若Z向尺寸比头宽度大得多，可作为平面应变问题对待。由于对称关系，只分析右上半部分。
F
2b
2h
a） b） c)
a）压缩高坯料 b）滑移线场 c）OM线上的?z 图8-14 平砧压缩高件的滑移线场（对称双心扇形场）
根据接触应力边界条件?k?0和正应力?y为均匀分布状态，可作出均匀应力场△ABC，AC和BC为两条滑移线，然后以锤头边角A、B两个应力奇异点为圆心，以两滑移线AC和BC为半径作出圆弧形滑移线CD和CE。再根据CD和CE为初始滑移线，按黎曼问题向纵深拓展下去，直至左右边界滑移线相交于点M。因为左右两侧无外力作用的边界条件，知?1指向为x轴方向，可确定?、?线及方向，这是一典型对称双心扇形滑移线场（图8-14）。显然扇形张角?与滑移线与工件的相对高度?(?可得其近似关系式
??0.625ln??0.025/? （当h>w时） （8-16）
h/w)有关，根据计算，
计算表明，上式的偏差值不超过5%。
当接触表面粗糙时，即?k?k时，与平冲头压入半无限体一样，可认为锤头下面存在一个等腰直角三角形△ABC大小的难变形区，因此它的滑移线场与上相同。
已知滑移线场，根据边界条件和汉盖应力方程，计算出各点的转角和静水压力值。由图（8-14）知，C点的倾角?(0,0)???/4、?y??q，由塑性条件?x??y?2k得，
（q为接触表面的平均单位压力） ?x??q?2k。
由点（0，0）到点（0，n），每顺时针转一个△?角，?线与x轴的倾角便减小一个
197
△?角，所以，有
?（0，n）=?（0，0）-n△?=??/4-n△?
和点（0，0）的静水压力
p(0,0)???m??(?x??y)/2?q?k
再从点（0，n）到点（m, n）点，沿?线，?线与x轴的倾角为
?(m,n)??(0,n)?m?????/4?n???m?????/4?(m?n)?? （a）
和点（m, n）的静水压力
p(m,n)?p(0,n)?2k[(?(0,n)??(m,n)]?q?2k[1?(m?n)??]
（b）
根据点（m, n）的倾角?（m, n）和静水压力值p（m, n），便可按式（8-3）求得场各点的应力值。
接触表面的平均单位压力q，可根据压缩过程板坯左右两侧的刚性外端没有任何外力作用，沿滑移线ADM上作用的水平力?Fx=0的边界条件来确定（图8-15），即
h??0xdy?0/4 （c） ，由式（b），有
沿对称轴oy上（m=n），倾角?（m, m）=??代入式（c），有
p(m, n)=q-2k(1+2m??)
hh?于是
0?xdy??[q?2k(1?2m??)]dy?0
0(1?2m??)]dy?q?2k （8-17）
0hh实际上式的理论计算仍然十分困难，用数值方法计算与繁琐，需重复多次。若用近似法就比较简单些。
现取参数?'?y/w，y为双心扇形场对称轴y上任意一点的坐标值，相应的扇形场中心角为?'，如图8-14所示，不难出，?'?m??。由式（8-16），可知
?'?0.625ln?'?0.025/?' （d）
根据力平衡条件，式（c）在滑移线场内也是满足的，即也有关系式
??0hxdy?0
式中dy=wd?'。
将式（d）代入，得
hh??0xdy??[q?2k(1?2?')]dy0?0
因为?x在OC段为均匀应力场，上式积分应依两段进行
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?上式积分后，得
1(?q?2k)d?'?[?q?2k(1?2?')]d?'?0
0??1q?2k?(4k/?)?'d?'
??1
?2k(1.25ln??1.25/??0.25) （8-18）
n??1.25(ln??1/?)?0.25 （8-19）
?2k(1.25ln??1.25/??0.25?0.05ln?/?) 由上式算出的q值与精确计算结果比较，偏差不超过2%。并且由式（8-19）的计算表明，当?= h/w =8.3 ，即??75.2?时，n??2.57，与Hill解的结果相同，说明当?= h/w >8.3时，应按转化成平冲头压入半无限体问题处理。
求出平均单位压力后，对图8-14所示滑移线场内的应力分布作一简单分析。这里以场内任意一点（m, n）为例，由式（a）和（b）知其倾角和静水压力分别为：
?(m,n)???/4?(m?n)??
p(m, n)=q-2k [1+(m + n)??
因此，该点的应力分量为
?x??p(m,n)?ksin2?(m,n) ?y??p(m,n)?ksin2?(m,n)
?xy?kcos2?(m,n)
当在对称轴oy上（m=n），有?（m, m）=??/4、p(m, n)=q-2k(1+2m??)和m??=?=
0. 625ln?-0. 025。再将式（d）和式（8-17）代入，得
?x??q?2k(1?2?)?2k(1.2?1.25/?)
?2k(1.2?1.25w/h)
（8-19）
?y??q?2k(1?2?)?2k(0.2?1.25/?)=2k(0. 2-1. 25w/h)
?xy?0
由此可见，当?（=w/h）>1.04时，?x将为拉应力，而当?同时?Z?(?x??y)/2也为拉应力。这说明??6.25?6.25时，?y也将为拉应力，
时，将出现三向拉应力。这表明，高件
压缩时中心部位易于出现三向拉应力状态，且?x大于2k值，这便是厚件压缩以及圆棒横锻拔长时芯部易于开裂的力学原因，这一现象在低塑性材料加工中特别值得注意。为了改善这一力学状态，低塑性材料圆棒的锻造应采用“V”型锤头，如钨、钼等难熔金属的旋锻加工，旋锻模的正确设计可以消除中心部位的拉应力（见图8-15）。 然而，事物总是一分为二的，对于斜轧穿孔，则希望中心部位造成三向拉应力状态，
199
利于中心孔腔的形成，如图8-16所示，三辊斜轧比两辊斜轧易于产生中心环腔，这是由于O1、O2和O3处产生了较大的拉应力，加上轧辊的旋转，有利于环腔的形成。
（a） （b） （c） （d）
图8-15 旋锤模包角（?）对断面上?x、?y分布的影响
图8-16 二辊和三辊斜轧的滑移线场和出现的孔腔
（a）二辊斜轧出现的孔腔 （b）二辊斜轧的滑移线场及Ⅰ-Ⅰ断面上?x的分布
（c）三辊斜轧的滑移线场 （d）三辊斜轧出现的环腔
思考题和习题
1．滑移线理论法基本原理是什么？有何特点？
2．何谓滑移线？它的力学特点是什么？
3．何谓汉盖应力方程，它的力学意义如何？
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4．滑移线的主要几何性质有哪些？ 5．滑移线的边值问题有哪几种。
8. 1 已知塑性流动平面上一点的应力状态为：?x=-100MPa，?y=-180MPa，
?xy=30MPa，试利用应力摩尔圆确定?1、?2的大小和方向，以及?、?线及其走向。
8. 2 如附图所示的滑移线场，?线为直线，?线为同心圆弧线。已知pc=-90MPa, k=60MPa，试求：
1）C点的?x、?y和?xy值； 2）E点的?x、?y和?xy值；
题 8.2 附图
8. 3 试绘出附图所示光滑模面情况板条反挤压的滑移线场，并计算所需挤压力？
题8.3附图 （H/h=3） 题 8.4附图
8.4 用滑移线场理论计算圆棒横越向锻造时，当W/h=0.181和材料的k=150Mpa时，圆棒中心处的应力值σx、σy为多少？
8.5 正八边形的断的型棒，进行横向锻造时，有两种可能的滑移线场（见附图），试问哪种是可行的，试分析之。
题8.5附图
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