（a）
同理，沿?1线从点A→点D和沿?2线从点D→点C的路径，得
PC?PA?2k(?A??C?2?B)PC?PA?2k(2?D??A??C)
（b）
（8-9a）
由式（a）和式（b），得
?C??B??D??A
由理，可证得 pC?pB?pD?pA （8-9b） 式（8-9）叫汉盖第一定理，它表明了同族的两条滑移线的有关特性，常称滑移线的跨线定理。
由汉盖第一定理，可知滑移线场有以下几种简单的情况：
（1）同族滑移线中有一条为直线的话，则这族滑移线的其他各条滑移线必然全是直线。由于直线滑移线的倾角差为零，所以直线滑移线上的静水压力保持恒定。
图8-4 常见的简单滑移线场
a）正交直线场 b)有心扇形场 c）无心扇形场
（2）若一族滑移线为直线，则与之正交的另一族滑移线或为直线（见图8-4a），或为曲线（如图8-4b、c）。
图8-4a所示的滑移线场由两组正交的平行直线构成，叫直线场。由于直线上任意点的
?角和静水压力p值均相同，所以各点的应力分量?x、?y和?xy也是相等的，故直线场即
为均匀应力场。
图8-4b所示的滑移线场由一族汇集于一点的辐射线，和与之正交的另一族为同心圆弧所构成，叫有心扇形场。由于该场中每一条直线滑移线上的?角和静水压力p不相同，因此，扇形圆心O处将有无限多个静水压力值对应着，出现所谓应力分布的奇异现象（Singularity），该点叫做应力奇异点。它通常出现在模具的拐角点或工具截面的突变处，以及应力或应变激剧变化的部位。
图8-4c所示的滑称线场由一族为不汇集于一点的直线和一族为不同心的圆弧线所构成的滑移线场，叫无心扇心场。图中曲线E为?线的包络线（往往是塑性变形区的边界线），即?线是以一族渐伸线，而与包络线E相切的一族为?线。
二、汉盖第二定理（*）
186
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dR?）等于该点所移动的路程（如dS?）。
证明：设?、?线上任一点的曲率半径分别为R?、R?，由曲率半径的定义知：
1/R????/?S 和
1/R?????/?S （d）
式中，R?、R?的正负号法则为：如果?族滑移线的曲率中心O?在?族滑移线的正侧为正，反之为负；?族亦然。图8-5中R?、R?均为正的。式（d）的第二式右边的负号是因为沿
S?增加的方向上?角是减小的。因而??/?S??0。
图8-5 ?、?族滑移线曲率半径的变化量
从图8-5知无限小的圆弧长?S?d(?S?)dS???R????，因而?S?沿弧S?的变化率为：
?R????d(R???dS??)????????S??R?????S?????
根据汉盖第一定理，?族线滑移线的转角???不随点沿S?移动而变化，上式右边第二项为零，于是有：
d(?S?)dS??????R???S? （f）
当曲线四边形单元趋近无限小时（见图8-5）可认为Am等于d(?S?)，于是
tg????AmAB?d(?S?)dS??????R???S????? （g）
比较式（f）和（g），可得
?R??S???1
（8-10a）
同理，可得到
187
?R??S???1 （8-10b）
汉盖第二定理表明，同族滑移线必然具有相同的曲率方向。
综上所述，滑移线的基本性质可归纳如下： （1）滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为k的迹线，与主应力迹线相交成?/4角；
（2）滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布满整个塑性变形区；
（3）滑移线上任意一点的倾角?值与坐标的选择相关，而静水压力p的大小与坐标选择无关；
（4）沿一滑移线上的相邻两点间静水压力差(?pab)与相应的倾角差(??ab)成正比； （5）同族的两条滑称线（如?1和?2线）与另族任意一条滑称线（如?1或?2线）相交两点的倾角差??，和静水压力变化量?p均保持不变；
（6）一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dR?）等于该点所移动的路程（如dS?)；
（7）同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8. 4 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
塑性加工问题的应力边界条件，有四种情况（见图8-6a、b、c、d和e）：
（a）
（d）
188
（e）
图8-6 边界面上的滑移线和摩尔圆
（a）自由表面，（b）无摩擦接触表面，（c）粘着摩擦接触表面，（d）（e）库仑摩擦接触表面
1）自由表面
塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见图8-10a）。因为自由表面（设为x轴）上的法向应力（?n?1??y和切应力（?k?0?0）
）。根据式（8-3），
可知滑移线性边界点上的?k角和静水压力pk分别为：
2?k?cos(?k/k)???/2
（8-11）
pk???n?ksin(2?k)?0?k和 ?x??k?ksin2(?k)??2k
可见，变形区的自由表面上的?k???/4和pk??k。
依照8-1节所述方法，可绘制出自由表面上任一点应力的莫尔圆，并根据?y为主应力。 ?1（即自由表面的外法线方向）确定?线、?线方向（见图8-6a）
2）光滑（无摩擦）接触表面
接触表面光滑且润滑良好时，可认为接触摩擦切应力为零(?k?0)，按式（8-11）第一式，可知滑移线与接触表面相交的?k???/4。而且接触表面上的正应力?n一般为代数值最小的主压应力（即为?3），据此，可依前法确定?、?方向（见图8-6b）。 ?1为其垂直方向。
3）粘着摩擦接触表面
高温塑性加工且无润滑时，如热挤压、热轧和热锻等，工件与工具间易出现全粘着现象，以致接触表面上的摩擦应力?k?k为最大，按式（8-11）第一式可知，滑称线与接触表面的夹角?k为零或?/2，此时?线与?线应根据接触表面切应力?k的正负指向情况来
确定。图8-6c所示，为?k??yx??k时，所确定的?线与?线方向情况。
4）滑动摩擦接触表面
许多金属塑性加工过程，如冷轧、拉拔等，接触表面摩擦应力?k?f?n，库仑摩擦摩擦系数的范围为（0 二、滑移线场绘制的数值计算方法 滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和?角。 根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类： 189 1）特征线问题 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线网的边值问题，即所谓黎曼（Riemann）问题。设选定相邻两结点的等倾角差为??????????，沿已知?滑移线 OA取点（1，0）、（2，0）、（3，0）、??（m，0）和?线OB取点（0，1）、（0，2）、（0。3）、??（0，n）。（m, n）表示第m条?线和第n条?线的结点编码（见图8-7）。 图8-7 特征线边值计算示意图 任意网点（m, n）上的参数p ( m, n) 和?（m, n），可根据汉盖第一定理式（8-9），得沿?线从点（m-1, n-1）到点（m, n-1），再沿?线从点（m, n-1）到点（m, n），有 p(m,n)?p(m?1,n)?p(m,n?1)?p(m?1,n?1)?(m,n)??(m?1,n)??(m,n?1)??(m?1,n?1) （8-12） 式中，?(m,n?1)??(m?1,n?1)??? ?(m?1,n)??(m?1,n?1)???任意网点（m, n）的坐标（x, y），可将滑移线的微分方程（8-4），写成差分形式 dydx???y?x?tg? 对?线 （8-13） dydx???y?x?tg(???/)??ctg? 对?线 这实质上是以弦代替微分弧，弦的斜率用两端结点的斜率的平均值，则上式可写成 y(m,n)?y(m?1,n)x(m,n)?x(m?1,n)y(m,n)?y(m,n?1)x(m,n)?x(m,n?1)?tgv? ??ctgv? 式中，v ??(1/2)[?(m-1,n)??(m,n)]??(m-1,n)???/2?A v ??(1/2)[?(m,n-1)??(m,n)]??(m,n-1)???/2?B 190