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所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。
【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练。
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2． 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 3． 本卷共12小题，共100分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案天灾题中横线上。 （11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。
【答案】24，23
【解析】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题。
19?18?20?2?21?22?23?31?2?35?24
1019?17?11?21?22?24?2?30?2?32?23 乙加工零件个数的平均数为
10甲加工零件个数的平均数为
【温馨提示】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这事解决本题的突破口。
（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
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【答案】
10 3【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。
由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为?4?1?所以该几何体的体积V=2+
134，3410= 331哦。 3【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉
（13）已知圆C的圆心是直线??x?1,与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0(t为参数）?y?1?t相切，则圆C的方程为 【答案】(x?1)?y?2
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。 令y=0得t=-1，所以直线?22?x?t与x轴的交点为（-1.0）
?y?1?t|?1?0?3|?2，所以圆C2因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r?的方程为(x?1)?y?2
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
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（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若
PB1PC1=,=PA2PD3,
则
BC的值为 。AD
【答案】6 6【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。
因为A,B,C,D四点共圆，所以?DAB??PCB,?CDA??PBC,因为?P为公共角，所以
⊿PBC∽⊿PAB,所以
PBPCBCxy6y??.设OB=x，PC=y，则有，所以??x?PDPAAD3y2x2BCx6 ??AD3y6【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。
????????（15）如图，在?ABC中，AD?AB,BC?3BD, ????????????AD?1,则AC?AD? . 【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
????????????????????????AC?AD?|AC|?|AD|cos∠DAC?|AC|?cos∠DAC?|AC|sin∠BAC?????BCsinB?3 【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。 （16）设函数f(x)?x?1，对任意x??,???，f?恒成立，则实数m的取值范围是 .
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2?2?3???x?2?4mf(x)?f(x?1)?4f(m)??m?高中数学辅导网 www.shuxuefudao.com
【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
3x22222依据题意得2?1?4m(x?1)?(x?1)?1?4(m?1)在x?[,??)上恒定成立，即
2m13232?4m????1x?[,??)上恒成立。 在m2x2x23325152当x?时函数y??2??1取得最小值?，所以2?4m??，即
2xx3m3(3m2?1)(4m2?3)?0，解得m??33或m? 22【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1(x?R) （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间?0,???上的最大值和最小值； ??2?（Ⅱ）若f(x0)?6????,x0??,?，求cos2x0的值。 5?42?【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y?Asin(?x??)的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：由f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1，得
f(x)?3(2sinxcosx)?(2cos2x?1)?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)
6所以函数f(x)的最小正周期为?
?因为f(x)?2sin?2x?????6??在区间?0,???????上为增函数，在区间,?上为减函数，又 ??66???2????f(0)?1,f???2,?6???????
f????1，所以函数f(x)在区间?0,?上的最大值为2，最小值?2??2?
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为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知f(x0)?2sin?2x0?????? 6?又因为f(x0)?6??3?，所以sin?2x0??? 56?5?由x0????2?7??????,?，得2x0???,?
6?36??42???从而cos?2x0?所以
????42? ??1?sin2x?????0?6?6?5?????????????3?43?? cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin?6?6?6?66?610????
（18）.（本小题满分12分） 某射手每次射击击中目标的概率是
2，且各次射击的结果互不影响。 3（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记?为射手射击3次后的总的分数，求?的分布列。
【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。 （1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~B?5,有2次击中目标的概率
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??2??.在5次射击中，恰3?