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整理得7k?2,故k??214214 所以y0=?75214 5综上y0=?22或y0=?
（21）（本小题满分14分） 已知函数f(x)?xc?x(x?R)
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明当
x?1时，f(x)?g(x)
（Ⅲ）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2
【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 （Ⅰ）解：f’(x)?(1?x)e?x 令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X f’(x) f(x) (??,1) + 1 0 极大值 (1,??) - ? ? 所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
1 ex?2（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)?xe于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?x
?(x?2)ex?2
?1)e?x
?1?0,又e?x?0,所以F’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+
当x>1时，2x-2>0,从而e京翰教育 www.zgjhjy.com
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∞)是增函数。
又F(1)=e?e?0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）
若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),则x1?x2?1.与x1?x2矛盾。 （2）若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),得x1?x2.与x1?x2矛盾。
根据（1）（2）得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1.
由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而
-1-1f(x1)>f(2-x2).因为x2?1，所以2?x2?1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）
内事增函数，所以x1>2?x2,即x1?x2>2.
（22）（本小题满分14分）
在数列?an?中，a1?0，且对任意k?N.a2k?1，a2k，a2k?1成等差数列，其公差为dk。
*（Ⅰ）若dk=2k，证明a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列（k?N） （Ⅱ）若对任意k?N，a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列，其公比为qk。
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 （Ⅰ）证明：由题设，可得a所以a**?a?4k,k?N*。
2k?12k?12k?1?a1?(a?a)?(a?a)?...?(a3?a1)
2k?12k?12k?12k?3=4k?4(k?1)?...?4?1 =2k(k+1) 由a1=0，得a?2k(k?1),从而a?a?2k?2k2,a?2(k?1)2.
2k?12k2k?12k?2aaak?1a2k?2k?12k?12k?2?,?,所以?2k?1。 于是akakaa2k2k?12k?12k所以dk?2k时，对任意k?N,a京翰教育 www.zgjhjy.com
*2k,a,a成等比数列。
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（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a2k?1,a2k,a,a成等差数列，及a,a成
2k?12k2k?12k?2aa2k?1?a?a,2??2k?1?1?qk 等比数列，得2a2k2k?12k?1aaq2k2kk?1当q1≠1时，可知qk≠1，k?N 从而
*1qk?1?2?11qk?1?1?1?1,即1??1(k?2)
q?1qq?1k?1k?1k?11??1??
所以??是等差数列，公差为1。
q?1??k??
（Ⅱ）证明：a1?0，a2?2，可得a3?4，从而q1?4?2,1=1.由（Ⅰ）有 2q?111qk?1?1?k?1?k,得qk?k?1,k?N*
k2aaa（）*所以2k?2?2k?1?k?1,从而2k?2?k?21,k?N
aakak2k?12k2k因此，
aaak2(k?1)22222k2k?2k?1?2k(k?1),k?N*4a2k?......a?.....2?2k.a?a.2k?12kkaaa2(k?1)2(k?2)2122k?22k?42以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m(m?N)
*k2若m=1,则2n???2.
ak?2kn若m≥2，则
k2m(2k)2m?1(2k?1)2m4k2??????2+ ?a2k?1k?2akk?1a2kk?1k?12knm?1m?1?4k2?4k?4k2?4k?11?1?11???2m?????2m?2?????2?kk?1??2k(k?1)????k?12k(k?1)k?1?2k(k?1)k?1??m?1
1131?2m?2(m?1)?(1?)?2n??2m2n.京翰教育 www.zgjhjy.com
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nk2313k2所以2n????,从而?2n???2,n?4,6,8...
2n2k?2akk?2akn(2)当n为奇数时，设n=2m+1（m?N）
*k22mk2(2m?1)31(2m?1)2 ????4m????a2m?122m2m(m?1)k?2akk?2akn21131 ?4m???2n??22(m?1)2n?1nk2313k2所以2n??·· ??,从而?2n???2,n?3,5,7·
a2n?12ak?2kk?2knn3k2综合（1）（2）可知，对任意n?2,n?N,有?2n???2
2k?2ak?证法二：（i）证明：由题设，可得dk?a2k?1?a2k?qka2k?a2k?a2k(qk?1),
dk?1?a2k?2?a2k?1?qk2a2k?qka2k?a2kqk(qk?1),所以dk?1?qkdk
qk?1?a2k?3a2k?2?dk?1ddq?1 ??1?2k?1?1?k?1?ka2k?2a2k?2qka2kqka2kqkq11?k??1，
qk?1?1qk?1qk?1qk?11?由q1?1可知qk?1,k?N*。可得
所以??1??是等差数列，公差为1。
?qk?1?（ii）证明：因为a1?0,a2?2,所以d1?a2?a1?2。
?1?a31所以a3?a2?d1?4，从而q1??2，?1。于是，由（i）可知所以??是
q?1a2q1?1?k?公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得
k?11= 1??k?1??k，故qk?。
kqk?1从而
dk?1k?1?qk?。 dkkdkdddkk?12?k.k?1........2?.......?k，由d1?2，可得 d1dk?1dk?2d1k?1k?21所以
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dk?2k。
于是，由（i）可知a2k?1?2k?k?1?,a2k?2k2,k?N* 以下同证法一。
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 （1）A （2）B （3）B （4）D （5）B （6）C （7）A （8）C （9）D （10）B
二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分24分。 （11）24:23 （12） （14）1022 （13）(x?1)?y?2 3??3??36?,?? （15）3 (16)???,? ?????2??26??三、解答题
（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y?Asin(?x??)的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。 （1）解：由f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1，得
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