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第十三讲：空间解析几何的强化训练题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．平面x?ky?z?2?0与平面K= （C） 2x?y?z1?相互垂直，则?0A．1 B．2 C．-1 D．-2
?解：s?2?1?3??11,7,5?
1??i?j?k2?5x?1y?3z?1?? 1175x?1y?1z?2??4．空间直线与平面 3?11x?2y?z?3?0的位置关系是 （B）
A． 相互垂直
B． 相互平行，但直线不在平面上 C． 既不平行，也不垂直 D． 直线在平面上
?????解： n1??1,k,?1?，n2??2,1,1? ????? n1?n2，?1,k,?1???2,1,1? =0
2?k?1?0 k??1
2．过ox轴和点M(1,2,3)的平面方程是（B） A．x?1?0 B．3y?2z?0 C．?3y?2z?6?0 D．2y?3z?0 解：∵?过ox轴?A?0,D?0
??s?n3?2?1解：（1）sin??????0
116sn故??0或?，即L??
(2)L上点(1,?1,2)代入?:1?2?2?3?0,直线不在平面上
?:y?Cz?0又?2B?3C?0?c??B
即3y?2z?0
235．方程x2?y2?z2?0表示的二次曲线是（B） A． 球面 B． 旋转抛物线 C． 圆锥面 D． 圆柱面
解：这是yoz面上，抛物线z?y绕Z轴旋
2?2x?y?3z?03．过点(1,3,?1)且与直线?平
x?2y?5z?1?行的直线方程是 （D）
转的旋转抛物面z??即z?x?y
22?x?y22?
2x?1?11x?1?B．9x?1?C．11x?1?D．11A．
y?3?9y?3?7y?3?9y?3?7z?1 7z?1 5z?1 7z?1 589
?z?x2?y26．在空间直角坐标系中，方程组??z?2代表的图形是 （A） A．圆 B．圆柱面 C．抛物线 D．直线 解：这是旋转抛物面z?x?y与平行于
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xoy面的平面z?2的交线是一个圆
二、 填空题（每小题4分，共24分）
解：x2?(y?2)2?0?x?y?2?0,
7．平面3x?2y?6z?6?0的截距式方程是 ? x ? y?2?0?.两个相交平面
3x2y6zxy???1即??z?1 6662?3x?1y?2zxyz??与直线??8．直线110101解：
的夹角是 解：cos??三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求过点M0?2,9,?6?且与连接坐标原点及
M0的线段oM0垂直的平面方程
?1,1,0???1,0,1??1
2?221?? 23?????解：（1）?OM??2,9,?6??法向量 ?n??2,9,?6?
（2）平面的点法式方程
???arccos9．已知两平面
?1:2x?ay?3z?5?0?2:bx?6y?z?0相互平行，则a? ，b? 解：??点Mo(2,9,?6)，法向量n??2,9,?6?
2(x?2)?9(y?9)?6(z?6)?0即 2x?9y?6z?121?0
14．过点A(1,0,?2)和B(1,2,2)且与向量
2a32???a??18,b?? b6?1310．过点
?2,3,4?且垂直与平面
3x?y?z?1?0的直线方程为 ?a??2,2,2?平行的平面方程
???????解：（1）?n?AB,n?a?依叉乘的定义知
?解：s??3,1,?1?点(2,3,4)
x?2y?3z?4?? 31?1??????????n?a?AB且AB??0,2,4?
???ijk10．平面x?y?z?3?0与平面 ??故n?222??4,?8,4?取n??1,?2,1?
2x?2y?2z?3?0之间的距离d= 02433?D2?D132??
2221?1?12A?B?C（2）点法式平面方程：
解：d?(x?1)?2(y?0)?z?2?0即 x?2y?z?1?0
,垂直于平面15． 求过点A(1,1且
90
12．在空间直角坐标系中 ，方程
x2?(y?2)2?0表示的曲面是
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x?y?z?7和3x?2y?12Z?5?0的平
面方程
?2x?z?5?0 ①令y?0，? ①?2+②3x?2z?4?0②?得x=2 代入①得z=1 MO?2,0,1? （3）标准式直线方程
??解：（1）?n??1,?1,1?,n??3,2,?12?
???ijk??n?1?11??10,15,5?取n??2,3,1?
32?12（2）点法式平面方程
x?2y?0z?1?? 5711x?3y?4z??和平面18．确定直线：
?2?732(x?1)?3(y?1)?z?1?0即 2x?3y?z?6?0
16．求通过点A(1,?2,0)且平行于直线
4x?2y?2z?3的位置关系
??s?n?8?14?6?sin??????0
6224sn???0故L??
解：（1）设?为直线和平面的交角
?x?y?2z?1?0的直线方程 L1:??x?2y?z?5?0??解：?s??1,1,?2?,s??1,2,?1?
???ijk??s?11?2
12?1（2）直线上点(?3,?4,0)代入平面方程
?12?8?0??4?3故直线不在平面上
19．指出下列曲面那些是旋转曲面？如果是旋转曲面，说明他是如何产生的？ （1）x2?2y2?3z2?1
?1?2?2111???,,???3,?1,1? ?21?1112?（2）所求直线方程
y2?z2?1 （2）x?42x?1y?2z?0?? 3?1117．化直线方程?式直线方程
?2x?3y?z?5?0为标准
?3x?y?2z?4?0?i?j?kx2y2z2???1 （3）
91825（4）x?2y?z?1
解：1若x,y,z中有两个系数相同时，则为旋转曲面在（2）中x，z系数相同故选
220222222??解：（1）求s,s?2?31??5,7,11?
31?2（2）求直线上一个点M0
91
y2x??z2?1
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y22 xoy上双曲线x??1绕y轴旋转
402（3）点M1(x1,y1,z1)到
?2:Ax?By?Cz?D2?0的距离
d?Ax1?By1?Cz1?D2A2?B2?C2?D2?D1A2?B2?C2??2x?z22?2y2??1即旋转双曲面 4y2x??z2?1
420．指出下列各方程在平面解析几何和空间解析几何分别表示什么图形？ （1） (x?1)2?y2?4
五、综合题（每题10分，共30分） 22．设一平面通过Z轴，且与平面：
2x?y?5z?7?0的夹角为
方程
?，求此平面3解：（1）?平面?过z轴??:Ax?By?0
x2y2??1 （2）
49（3） y?x?1
解：（1）在平面解析几何表示：圆；在空间解析几何表示：圆柱面
（2）在平面解析几何表示：双曲线；在空间解析几何表示：双曲柱面
（3）在平面解析几何表示：一条直线；在空间解析几何表示：平面 四、 证明题（本题8分） 21． 证明两平面
?????（2）?n1??A,B,O?,n2?2,1,?5
????????n1?n212A?B ?cos??????即?2223n1n210A?B10(A2?B2)?4(2A?B)2
10A2?10B2?16A2?16AB?4B2 3A2?8AB?3B2?0解得B?3A或A??3B
（3）所求平面的方程
?1:Ax?By?Cz?D1?0?2:Ax?By?Cz?D2?0之间的距离d：d?x?3y?0或3x?y?0
D2?D1A?B?C222
23．求过点（1，2，1）且与L1:?证：（1）在平面?1取一点M1(x1,y1,z1) （2）利用点M0(x0,y0,z0)到平面
?2x?y?z?0?x?y?z?0?:Ax?By?Cz?D?0的距离公式
d1?
Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222
92
?x?2y?z?1?0平行的平面方程
x?y?z?1?0????ijk??解：（1）s1?2?11
1?11和L2:?专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印
??11122?1???,,?
?11111?1????0,?1,?1?
?i???（2）s2?11??s1?3?22
12?3?i?j?k?j2?1?k?1 1??22233?2???,,? ?2?3?3112?=?2,11,8?
?2?1?1112???,,? ??11111?1?????（3）?L?L1?s?s1
2?A2B?6?? 211818?50,B?从而解得A? 1111故有
??1,?2,?3?
???????（3）?n?s1,n?s2
???ijk???n?0?1?1n?1?2?3?i?j?k第十四讲：多元函数的偏导数与全微分的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 设f(x?y,x?y)?xy?y2 则f(x,y)= （A） A． C．
0?1?1 1?2?3??1?1?100?1???,,?
?2?3?311?2????1,?1,1?
（4）点法式平面方程
x(x?y) B．xy?y2 2x?1y?2z?1?? 1?11x?4yz?5??24． 设直线L:问A，B2?A2B?6取何值时，才能使直线L同时平行于平面
x(x?y) D．x2?xy 2解： ?f(x?y,x?y)?(x?y)y
3x?2y?2z?o和平面x?2y?3z?o
解：（1）已知
L
的方向向量
?s??2?A,2B,?? 6（2）设L1?1(x?y)?(x?y)?(x?y)? 2x?f(x,y)?(x?y)
2??3x?2y?2z?0
?x?2y?3z?093
excosy2． lim= （D）
x?11?x2?y2y?oA． 0 B ．1 C．
1e D． e2