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值点
解： ?z?f(x,y)可微，?函数极值点一定是驻点 ?选C
4．函数f(x,y)在点(x0,y0)可微是f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数，fx'(x0,y0)和
解：（1）令F?x2?y2?z2?9,Fx'?2x,
Fy'?2y,Fz'?2z，Fx'(1,?2,2)?2, Fy'(1,?2,2)??4,Fz'(1.?2,2)?4
（2）切平面方程：
(x?1)?4(y?2)?4(Z?2)?0
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．函数f(x,y)?5?x2?y2的极大值为 解：（1）?fx??2x?0,fy??2y?0
''fy'(x0,y0)存在的 （A）
A． 充分条件 B． 必要条件 C． 充分必要条件 D ．无关条件
解：?可微?偏导数存在，反之不成立 ?可微是偏导数存在的充分条件（注不是充分必要条件）
5．设点(x0,y0)为f(x,y)的驻点，且有
''''''(x0,y0),C?fyy(x0,y0)，A?fxx(x0,y0),B?fxy?驻点(0,0)
（2）fxx??2,fxy?0,fyy??2;
''''''??02?(?2)(?2)??4?0有极值
??B2?AC则f(x,y)极大值点充分条件
是（D）
A．??0,A?0 B．??0,A?0 C．??0,A?0 D．??0,A?0 解：当??0时有极值，A?0极小值，A?0极大值。即??0,A?0
'又?f(1,1)?0，fy(1,1)?0即
A??2?0有极大值f(0,0)?5
8．设f(x,y)?2x2?ax?xy2?by在点（1，1，）取得极值，则a? b?
解：?fx?4x?a?y,fy?2xy?b
'2'6．球面x?y?z?9在点（1，-2，2）的切平面 （） A．x?2y?2z?1?0 B．z?2
C．x?2y?2z?9?0 D．x?2y?2z?9?0
2224?a?1?0，2?b?0
?a??5,b??2
2229．方程x?y?z?1确定z?z(x,y)则
?2z?2z== ?x?y?y?x解：令F?x?y?z?1,Fx?2x,
222' 99
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Fy'?2y,Fz'?2z
（2）
三、计算题（每小题8分，共64分） 13．设方程ex?ysin(x?z)?0确定
?zx?zy??，?? ?xz?yzz?(z,x 求)ydz
解：（1）令F?ex?ysin(x?z),
?2z1?z?xy?2z（3） ?2(0?x)?3??x?yz?yz?y?x10．曲线x?t，y?t2，z?t在点（1，1，1） 处切线的方向向量为 解：?x'(t)?3t2,y'(t)?2t,z'(t)?1，
3Fx'?ex?y?sin(x?z)?cos(x?z)? Fy'?ex?ysin(x?z),Fz'?ex?ycos(x?z) ?zFx'?sin(x?z)?cos(x?z)（2） ?'??xFzcos(x?z)??1?tan(x?z)
x'(1)?3,y'(1)?2,z'(t)?1
??切线方向向量：i??3,2,1?
11．方程ez?xyz?0确定z?z(x,y)，则
Fy'?zsin(x?z)??'????tan(x?z) ?yFzcos(x?z)dz????1?tan?x?z???dx?tan(x?z)dy
14．设 z?z(x,y)由方程2xz?2xy?ln(xyz)
?z= ?x解：令F?ez?xyz,Fx'??yz,Fz'?ez?xy
Fx'?zyz ??'?2?xFze?xy312．方程z?2xz?y?0确定z?z(x,y)，
?0所确定，求
?z?z，，dz ?x?y解：（1）F?2xz?2xyz?lnx?lny?lnz,
则dz(0,1)=
211Fx'?2z?2yz?，Fy'?2xz?
xy1Fz'?2x?2xy?
z解：（1）3zdz?2zdx?2xdz?dy?0 （2）在（0，1）处：z?1?0,z??1即
33dz?2dx?dy?0
（3）dz21??dx?dy (0,1)33100
1F?zx （2）????xF2x?2xy?1z'x'z2yz?2z?
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Fy'?z ??'?1?yFz2x?2xy?z15．设方程?ln确定z?z(x,y)，求
2xz?1y17． 已知点（5，2）是函数z?xy?ab?的xy极值点，求a,b的值
xzzy?z?z， ?x?y解：（1）
解：令F?x?lnz?lny z?za?z?y?2,?xx?x(5,2)?2?a?0 252?11?x1?x?z Fx'?,Fy'?,Fz'?2??2zyzzza故a?50 25（2）
?zb?z?x?2,?yy?yb?5??0 (5,2)4Fx'?zz2z（2） ??'???xFzz(x?z)x?z5?b故b?20 4Fy'?zz2 ??'??yFzy(x?z)216．设方程x2?y2?z?4z?0确定
18．求f(x,y)?4(x,y)?x2?y2的极值 解：（1）求驻点fx'?4?2x?0,x?2
fy'??4?2y，y??2，驻点（2，-2）
?2zz?z(x,，求y) 2?x解：（1）F?x2?y2?z2?4z
（2）判断极值点：fxx??2,fyy??2,fxy?0
''''\??B2?AC?02?(?2)(?2)??4?0有极
值A??2?0。（2，-2）为极大值点 （3）极大值f(2,2)?16?4?4?8
Fx'?2x,Fy'?2y,Fz'?2z?4 Fx'?z?x（2） ??'??xFzz?2?z?(z?2)?x2?z?x （3）2?2?x(z?2)2219．求z?x?y在x?y?2条件下的极值
解：（1）化为无条件极值
z?x2?(z?x)2一元函数的极值
（2）zx?2x?2(2?x)?0，
'?x2?(z?2)?x?(z?2)2?x2z?2? ?23(z?2)(z?2)4x?4?0,x?1
zxx''?4?0极小值z?12?(2?1)2?2
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注：F?x2?y2??(x?y?2),Fx'?2x???0,
Fy'?2y???0?x?y代入约束条件
x?y?2得驻点x?1,y?1。由实际问题知
极大值z(1,1)?2 20．求空间曲线
Fy'Fx'Fz'?z?x?y(2)???(?')(?')(?')
?x?y?zFzFxFy??1 ?z注：是一个完整符号，不能认为是?z和?x?x的商
五、综合题（每小题10分，共30分）
l:x?t?sint,y?tcost,z?2cost对应于222． 设方程
xz?ln确定z?z(x,y)，求zyt??的切线方程
解：（1）在t??处对立点M0(?,??,0) （2）切线方向向量：
?2z 2?x解：（1）求
x'(?)?2,y'(?)??1,?2'(?)??1
（3）切线方程：
?z（用复合函数求导法） ?x?x?zlnz?zlny（两边对X对导，z?z(x,y)） 1?z?解
x??y??z?0?? 2?1?1四、证明题（本题8分）
21．设x?x(y,z),y?y(z,x),z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0所确定的所有连续偏
1?z?z?z?lnz?lny? z?x?x?x?z?z11z??，= zx?x?x1?lnx?z1?y2导数的函数，证明
?z?x?y????1 ?x?y?z（注：与15题结果一样）
Fx'?z解：（1）??'(?F(x,y,z)?0
?xFz确定z?z(x,y))
?2z（2）求2，
?x?2z?z?() ?x2?xx?z?z?z(x?z)?z(1?)?x =?x2(x?z)Fy'?z??'(?F(x,y,z)?0确定x?x(y,z))?yFxFz'?y??'(?F(x,y,z)?0确定y?y(z,x))?zFy
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zz(x?z)?z(1?)x?zx?z=
(x?z)2 u?xy(a?x?y)?xya?x2y?xy2 （2）
?u?ay?2xy?y2?0 ① ?xxz?z2?z(x?2z)?z2== 33(x?z)(x?z)23．求f(x,y)?x3?8y3?6xy?5的极值 解：（1）求驻点：fx'?3x2?6y?0 ①
?u?ax?2xy?x2?0 ② ?y①- ②：a(y?x)?(y?x)(y?x)?x?y
22代入②得 ax?x?2x?0?x?a，3fy'?24y2?6x?0 ②
由②x?4y2 代入①得
y?
aaaa?z?（，）为驻点 3333（3）判断极值点：
8y2?y?0解得y?0或者y?
驻点（0，0）或（1，（2）判断极值点：
''''''fxx?6x,fxy??6,fyy?48y
1
2
''''uxx??2y,uxy?a?2x?2y，u''yy??2x
1） 2在点（
aa，）处 332a2A??a,b??,c??a,
3332在（0，0）点处：A?0,B??6,C?0
a242??B?AC??a?0有极值，且
992A??a?0 有极大值 由单峰原理有最大
3值uaaa(,,)333??(?6)2?0?36?0无极值
1在（1，）处：A?6,B??6,C?24
2aa?()3答x?y?z?
33??B2?AC?(?6)2?6?24?0有极值
且A?6?0 （1，
第十六讲：二重积分的概念、计算及其应用的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．f?x,y?在平面有界且有面积的闭区域D上连续是二重积分（ B）
103
1）为极小值点 23（3）极小值f(1,)?1?1?3?5?4 24． 把一个正数a分成3个正数之和，并且使他们的乘积最大，求这3个正数
解：设a的三个正数分别为x,y,z依题意： 目标函数u?xyz 约束条件：x?y?z?a （1） 化为无条件极值
12??f?x,y?dxdy存在的
D