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A 必要条件 B充分条件 C 充分必要条件 D无关条件 解：若f?x,y?在D上连续，则
??f?x,y?d?存在，反之不成立，故选B
D解：采用极坐标定限
?
2．f?x,y?在平面闭区域D上有界是二重积分
??f?x,y?dxdy存在的…（ A ）
D原式＝
?20d??rerdr 选D
015．设D= ??x,y?a?x?b,c?y?d?则
A 必要条件 B充分条件 C 充分必要条件 D无关条件 解：若
??d?= （ C ）
D??f?x,y?d?存在，则f?x,y?在D
DxA．a?b?c?d B．abcd C．?b?a??d?c? D．?a?b??d?c? 解：（1）画出D的示意图
有界，反之不成立，故选A 3．设f?x,y?为连续函数，则
a?0dx?f?x,y?dy0a?0 （ A ）
A.B.
?a0dy?f?x,y?dx
ya?dy?f?x,y?dx
C.?dy?f?x,y?dx D.?dy?f?x,y?dx
0axyaa（2）原式＝
?dx?a2bd
cdy??b?a??d?c?
0a00ya6．设D：x2?y2?R2则???xyD2（B） ?1?d?=
2A．0 B.?R C2?R D2?R 解：（1）画出积分区域D
解：交换二次积分次序 原式＝
?a0dy?f?x,y?dx 选A
ya
（2）原式＝
2xy??d????d? DD4．设D= ??x,y?x??eD2?y?1,x?0，y?0x2?y22????xy2d??0（D关于y轴对称，xy2关于
D则在极坐标系下A．C．
dxdy= （ D ）
?20x轴为奇函数）
∴原式＝0??R??R 选B
二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设D?若
22???0d??edr B.?0＇0＇?d??e?dr
0＇??00d??re?dr D.?2d??re?dr
0＇??x,y?0?x?1,?1?y?0?
?12，则a?
??Da2?x2?y2d?? 104
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168??? 3311．设D???x,y?0?x?1,?1?y?0?则 ?8??
解：由二重积分几何意义知
xyxe??dxdy? D??Da2?x2?y2d??上半球体积 23323?1?a?
3122228．若D：4?x?y?9，则??dxdy＝
＝?R ??a?d 解：（1）画出积分区域D
?dx?ed?xy???e?11＝??1?e?dx?1??1?
ee解：原式
11
0xy1xyo0?10?1dx
?x012．I??10dx?f?x,y?dy交换积分次序后，
x1I?
解：（1）画出积分区域D
（2）原式＝??3???2?9??4??5? 9．设D：x?y?R则
22xx?y??dxdy＝ ??D222
22
（2）交换二次积分次序： 原式＝I=
解：（1）画出D
?dy?01y20f(x,y)dx
三、计算题（每小题8分，共64分）
（2）∵D关于∴原式＝0
10．设D为x?y?4，则
22y轴对称，且
f?x,y??x?x2?y2?关于x为奇函数
x213．计算??2dxdy，其中D由
yDxy?1,x?2,y?x所围闭区域
解：（1）画出积分区域D
???2?Dx2?y2dxdy＝
（2）选择积分次序：为了不分片先对y分积分，后对x积分
x12dxxd(?) 1?1?2yx212=?x(?)1dx 1yx?解：（1）画出D
原式＝
（2）原式＝2???2?22?2?0d??r2dr
02 105
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?x4x2?29???x?x?dx????? 1?42?1414．计算??y2d?，D由
23D111?cosy?ycosy?siny?1?sin1
000y2?x?1,x?0,y?0,y?1所围闭区域
解：（1）画出积分区域D
17．计算I??10dx?2x?x2xxydy
x2?y2解：（1）画出积分区域D
（2）为了不分片先对x分积分，后对y积分 原式＝＝
?101dy?y2?10y2dx??y2(y2?1)dy
01151118y??y3???? 053053151
（2）改用极坐标定限，计算
?15．交换
I???3d??f?x,y?dx42cos?0I??dy?012y0f?x,y?dx??dy?133?yrcos?rsin?rdr 2r2cos?00积分次序 解：（1）画出D1?D2?D
2r???2sin?cos??24?d?
??34D1:0?y?1,0?x?2y
D2:1?y?3,0?x?3?y
???2sin?cos?d??2??2??2cos3?dcos?
41??cos4?218．计算
??24?1 8?x2R?y2I??（2）交换积分次序 I＝
23?xR20e?y2dy?edx??Re02ydy?R2?y20e?xdx2解：（1）画出D1?D2?D
?0dx??xf?x?y?dy
10216．计算I??dx?xxsinydy y
（2）改用极坐标定限，计算
?24解：（1）画出积分域D （2）交换积分次序 I＝ ＝
y1sinysiny?0dy?y2ydx??oy?xy2dy
1yI???d??e?r?rdr
0R2?sindy??dycosy?
0o11106
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?????1?2R ????????e?r0?24??2??1??R2?R2??1?e?1?e 42819．计算I???xydxdy，其中D由y?x
四、综合题（每小题10分，共20分） 21．计算
e22lnxlnxI??dy?xdx??dy?dx
01eelnyex解：（1）画出积分区域D1?D2?D
e2????DD1:0?y?e,1?x?2
y??x，y?1所围闭区域
解：（1）画出积分区域D
D2:e?y?e2,lny?x?e2
（2）∵D关于y轴对称，xy关于x为偶函数。
1y1
（2）交换积分次序I?（3）计算二次积分
y0?21dx?ex0lnxdy ex?I?2?dy?xydx?2?y?000x22dy
1411y0＝
04420．计算I????x?y?dxdy ??y3dy?12lnxexI??x?y0dx??lnxdx
1e12??xlnx?x?1?2ln2?1
2DD:x?y?2x
解：（1）画出积分区域D
2222．由圆x2?y2?1及直线x?0,y?0所围成第一象限的薄板，其密度，求该薄板的质量 解：（1）画出平面图形
（2）设该薄板质量为M
（2）I???xd????yd?
DD21?rrdr M?????x,y?dxdy??2d??001?r2D1?∵D关于x轴对称，y关于y为奇函数
???yd??0
D?I??2?d???2?2cos?0rcos??rdr
223cos??8cos?d? ?0316???2cos4?d? 301631?＝????? 3422＝
107
1?r22r2?t?11?t??drdt 2?0041?r41?t1?1?1?t?2??12???dt???dt??dt?
0401?t4?01?t??11???2ln1?t?t??00? ?4???2ln2?0??1?0?? ??4???2ln2?1? 4?1五、证明题 (每小题9分，共18分)
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23．证明
?bxbadx?af?y?dy??a?b?x?f?x?dx
证：画出左式积分区域D
?bx'
adx?af(y)dy交换积分次序
?bdy?bbbay?y?dx??af?y??dx?ydy＝
?b?y?f?y?dy??ba?ba?b?x?f?x?dx
＝右式
24．设f?x,y?为连续函数且
f?x,y??xy???f?u,v?d?，其中D：
Dy?0,y?x2,x?1所围闭区域，证明：
??f?x,y?dxdy?1 D8解：(1)画出积分区域D
(2)?二重积分是一个确定常数
??f(x,y)dxdy?A故有（fx,y）?xy?AD(3)A＝
??(xy?A)d??1x2D?0dx??(xy?A)dy＝??x?y2x21x20dx?A0dx
D2??y＝?1x5x302dx?A3?10?112?A3移项 得 A＝18 故??f?x,y?dxdy?1
D8
第十七讲：数项级数的敛散性的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） ?1．若limn??Un?0则常数项级数
?Un（ D ）
n?1A．发散 B.条件收敛 C．绝对收敛 D .不一定收敛
解：lim1?n??n?0，但?1发散；lim1n?1nn??n2?0，
??但12收敛 选D n?1n2．设
??Un收敛，则下列级数一定收敛的是
n?1（ B ） ??A．?Un B.
n?1??2008Un?
n?1?C．
???U1n?0.001? D． n?1?n?1Uu????解：
2008Un?＝2008?Un
n?1n?1????Un收敛?由性质??2008Un?收敛
n?1n?13．下列级数中一定收敛的是…( A )
??A．?1 B．2n?4n2 n?10n?4n??104n ??nC．111n?n??1?n???…?… ?10?? D．23n解：?U11n?n2?4 n?0，取n?n2
?limU?nn??V?1，且1nn?2收敛，由比较法?10n??12?4收敛 n?10n4．下列级数条件收敛的是……（ C ）
108