Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU
Chapter 3 复变函数级数
Abstract：简介解析函数的性质，尤其是解析函数最重要的表达形式之一的
幂级数(power series) 的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为Taylor级数和在孤立奇点附近展开为Laurent级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类。
Motivation：引论中讲过，一方面，物理学家力求?ak(z?b)k（将此
ksum
表达为一个简单的函数）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方程的解等）相当复杂，人们不得不反过来做级数展开。有趣的是，大部分情况下级数的前一、二项就解决问题了（物理误差范围以内）。这不但对收敛快的级数是如此，况且对发散级数尤要cut off！--多项式展开。更有趣的是，这样便构成了本征函数系—早已存在的数学理论，物理理论和实验的核心目标，see part II）。 级数复习: 常数项级数：S???1. ?nn?1??1函数项级数：??zn ?z?1?,几何级数；
1?zn?0
zn e?? ?z???,指数级数；
n?0n!
z?
z2n?1sinz????1? ?z???,?2n?1?!n?0?ncosz????1?n?0?nz ?z???,?2n?!2n 三角函数级数。
一般级数：……
解析项级数：1.一般级数，2.幂级数。
?1111问题：设有序列1,,,,???，问S????，Key：divergence 发散.
234n?1nlimn?1dxn?1,且Sn???ln?n?1?,S?limSn?limln?n?1?, 这是log发散。
1n??n??n??n?1x
而?n?1???1?npn?11收敛，?p?1?convergence，且?p???p?绝对收敛。??p? 称为
n?1n??111Riemann zeta function. p?1：?p，而?发散（调和级数，和谐级数？）。
nnn?1n 1
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???1发散 (p?1). 但是p?1为何收敛呢？ pn?1n?11?1?1????pp3p?2n?1n1??11???1??????????????????p?pp?p?7??815???41??11??11??1?1??p?p???p?????p???p?????p?????
2??44??88??2?1?12p?1??1??1??1???p?1???p?1????????p?1??2??2??n?0?223n此几何级数收敛?p?1?，??1收敛?p?1?。 pnn?1?再问一致收敛呢？要有?,N???学说，而非N[See (Sub. 1.3) below]. 在C平面p?Rep?iImp,Rep?1有无穷多个奇点。p??2n(n?1,2,)是??p? 的零点，其它零点落在0?Rep?1.Riemann 假设：上述零点全部在Rep?1/2.
一、 级数的基本概念与性质 (Basic concepts and properties of series)
1. 复数序列
（1） 定义：按照一定顺序排列的复数zn?an?ibn，n?1,2,?，称为复
数序列，记为?zn?。
一个复数序列完全等价于两个实数序列。
（2） 聚点：给定复数序列?zn?，若存在复数z，对于???0，恒有无
穷多个zn满足zn?z??，则称z为?zn?的一个聚点（或极限点）。
一个序列可以有不止一个聚点，例如序列个聚点，?1。
123456,?,,?,,?,?就有两234567（3） 有界序列和无界序列：给定复数序列?zn?，若存在一个正数M，
对所有的n都有zn?M，称为序列有界；否则称为序列无界。 （4） 极限：给定复数序列?zn?，如果对???0，?自然数N，使得只
要n?N，就有zn?A??，则称?zn?收敛于A，记为limzn?A。
n??一个序列的极限必然是这个序列的聚点，而且是唯一的聚点。
2
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lima?a??n??n显然，如果写成zn?an?ibn，A?a?ib，则 limzn?A??
n??limb?b??n??n?0 ??1? ??1?? n，有 lim???
n?? ??1?1 ?不存在 ??1且??1?例如，对于点列?n??（5）序列极限存在（序列收敛）的Cauchy充要条件：任给??0，存在
正整数N，使对于任意正整数p，有zN?p?zN??. 一个无界序列不可能是收敛的。
2． 复数项级数
复数项级数的收敛：一个复数级数，z1?z2?n?zk??zk，如果它的
k?1?部分和Sn??zk所构成的序列?Sn?收敛，即有极限limSn?S，则称
k?1n??级数?zk收敛，而序列?Sn?的极限S称为级数?zk的和；如果级数
k?1k?1??limSn不存在（无穷或不定），则称?zk发散。
n???k?1注：?zk??Rezk?i?Imzk，因此，一个复数级数完全等价于两个实
k?1k?1k?1???数级数。若?Rezk，?Imzk都收敛，则?zk收敛；若?Rezk，
k?1k?1k?1k?1?????Imzk?1?k至少有一个发散，则
?zk?1?k发散。
?zk?1?k收敛的充要条件（Cauchy收敛判据）：任给??0，存在正整数N，
N?p使对于任意正整数p?1, 有
k?N?1?zk??.
特别是，令p?1，则得到级数收敛的必要条件：limzk?0.
k?? 3
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绝对收敛：如果?zk收敛，则称?zk绝对收敛。
k?1k?1?? 绝对收敛的性质：
? 绝对收敛的级数一定收敛（因为：
k?n?1?zn?pk?k?n?1?zn?pk，反之不定。 ??）
? 绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数仍绝对收敛。
? 两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。
例如，S1??an，S2??bl是绝对收敛的，则
n?0l?0??[注意最后一步的l?k?n及n的取值范围]
S1?S2??an?bl???anbl???anbk?n.(b?|l|?0)因为|an|和|bl|n?0l?0n?0l?0k?0n?0?????k构成的实数级数收敛，所以|anbk?n|构成的实数级数也收敛。
由于
?zk?1?k是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一种
正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之） 比较判别法：若uk?vk，而
?vk?1??k收敛，则
?uk?1??k收敛；
若uk?vk，而
?vk?1k发散，则
?uk?1k发散；
?比值判别法（D’Alembert判别法）：若limk??uk?1uk?l?1，则?uk收敛；
k?1 若limk??uk?1ukuk?1uk?l?1，则?uk发散；
k?1?若limk???l?1，
?uk?1?k可能收敛，也可能发散；
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根值判别法（Cauchy判别法）：若limukk???1k?1，则?uk收敛；
k?1? 若limukk??1k?1，则?uk发散；
k?1若limukk??1k?1，
?uk?1?k可能收敛，也可能发散；
Gauss判别法：如果（至少n充分大）
un??1?则当??1时，?1??O?2?，
un?1n?n??un?1?1）；而当??1时，?un发散。 un收敛（相当于?un?1n?1n? 3． 复变函数级数（设uk(z)为域D中的连续函数，k?1,2,?）
函数级数的收敛：如果对于D中的一点z0，级数
???u?z?收敛，则称级数
k0k?1??u?z?在zkk?10点收敛；反之?uk?z0?发散，则称?uk?z?在z0点发散。
k?1k?1? 如果级数?uk?z?在D中的每一点都收敛，则称级数在D内收敛。
k?1其和函数S(z)是D内的单值函数。
一致收敛：如果对于任意给定的??0，存在一个与z无关的N(?)，使当
n?N(?)时，对于任意正整数p?1,?k?n?1?u(z)??对D中每一点z均成
kn?p立，则称级数?uk?z?在D内一致收敛。
k?1（X）一致收敛级数的性质：
? 一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的，级数的一致收敛性质是它在一定区域内的性质。
? （*）若在区域D内满足uk(z)?ak，ak与z无关(k?1,2,),且?ak收敛，则k?1? 5