Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU
（Weierstrass的M判别法） ?u?z?绝对且一致收敛。kk?1?? 连续性：如果uk(z)（k?1,2,?在D内连续，级数?uk?z?在D内一致收敛，则其和）k?1?函数S(z)??u?z?也在D内连续。
kk?1? 这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限，
或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即，limz?z0?uk?1?k(z)??limuk(z).
k?1z?z0?? 逐项求积分：设C是区域D内一条分段光滑曲线，如果uk(z)（k?1,2,???在C上连）续， 则对于C上一致收敛级数?u?z?可以逐项积分，??u(z)dz???kk?1Ckk?1k?1Cuk(z)dz.
? 逐项求导数（Weierstrass定理）：设uk(z)（k?1,2,?在D中单值解析，）?uk?z?在Dk?1?中一致收敛，则此级数之和f(z)??u?z?是D内的解析函数，f(z)可逐项求导，kk?1(m)(m)(z)??uk(z).
k?1?求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。f [上面这些性质的证明见《数学物理方法》，北大 吴崇试，高等教育出版社。]
函数f(x)在x0处连续即limf(x)?f(x0)可表述为：对任意给定的??0，总存在
x?x0??0，当x2?x1??时，使得f(x2)?f(x1)??成立。
一致连续：?不依赖于x. 例如：f(x)?对任意小的正数?，?f?1，x?(0,1)，?x?x2?x1??，?f??. x11?x????，(x1,x2)??，所以连续，但并非一致连续。 x2x1x1x2?f?因为当x1??,x2????时，
??(???).若???，则连续; 若??，则?f?11. ?康托尔(Couter)定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续。
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二、 幂级数( Power series)
1．定义：以幂函数?z?b?为一般项的级数f(z)??ak?z?b?称为以b为中
kkk?0?心的幂级数。反之，函数f(z)在z?b附近的Taylor级数展开，其系数为
. ak（k?0,1,2,）2．幂级数的收敛性：
Abel定理：如果级数?ak?z?b?在某点z0收敛，则
kk?0?该级数在圆域z?b?z0?b内绝对收敛，而且在
z?b?r (r?z0?b)内一致收敛。
证明：因为?ak?z?b?在z0点收敛，故一定满足必
kk?0?要条件， limak?z0?b??0.
kk??因此存在正数M，使得，ak?z0?b??M(k?0,1,2,?)，于是，
kak?z?b??ak?z0?b?kkz?bz?b??M. z0?bz0?b?kkk?z?bz?bk?1，当|Z|?即z?b?z0?b时，几何级数?收敛，故?ak?z?b?z0?bk?0z0?bk?0在圆z?b?z0?b内绝对收敛。 而当z?b?r?z0?b时，ak?z?b??Mkrkz0?bk，而常数项级数?k?0?rkz0?bk收
敛，故根据Weierstrass的M判别法，?ak?z?b?在圆z?b?r (r?z0?b)内
kk?0?一致收敛。
推论一：如果级数
?a?z?b?kk?0?k在某点z0发散，则该级数在圆域
z?b?z0?b外处处发散。
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?1当z?1时，??zn(z?1外处处发散）; 当z?1时，
1?zn?0?1111?11?????n???n?1(z?1内处处发散）。
11?zz1?zn?0zn?0zz推论二：对于幂级数?ak?z?b?，必存在一个实数R?0，使得在圆
kk?0?z?b?R内级数处处收敛，同时在圆z?b?R外级数处处发散。 * 这个圆z?b?R称为?ak?z?b?的收敛圆，而半径R称为收敛半径。
kk?0?** 收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见p.11的第二
个菱形的非常规方法更有效。
3．幂级数的收敛圆和收敛半径：
在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径： （1）R?liman，这是因为，根据D’Alembert判别法，有
n??an?1n?1a?z?b?limn?1n??a?z?b?nn?z?bliman?1?1时级数收敛。因此得
n??anz?b?R?lim1anan.
n??an?1（2）R?limn??n，这是因为，根据Cauchy判别法，有
nlimnan?z?b??z?blimnan?1时级数收敛。因此得
n??n??z?b?R?lim?1ann??n.
4．幂级数?ak?z?b?在收敛区域内的性质：
kk?0? 在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆内的任何闭圆域上一致收敛。[Abel theorem]. ? 和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数，由Abel定理知幂
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级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由Weierstrass定理知其解析] ? 和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明]
?zz0?ak?z?b?dz??ak??z?b?dz??kkk?0k?0z0??zak?z?b?k?1??z0?b?k?1
k?0k?1k????d?z?b?d??k?az?b?a???k?k?dz?dz?k?0?k?0??ak?k?z?b?k?1?k?1??ak?1?k?1??z?b?.k?0?
k? 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可]
例：设幂级数?cnzn的收敛半径为R，求下列幂级数的收敛半径。
n?0?（1）?ncnz（k为实数）； （2）?2n?1cnzn.
knn?0n?0????解： （1）an?nkcn，
annkcncn?n?cnR1?lim?lim?lim?lim?R. ??kn??an??n??n??cn?1?n?1?cn?1?n?1?cn?1n?1k（2）an??2n?1?cn, R2?lim
注：幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的，因此， ①?? ②??
逐次求积分和导数任意次；
收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。（即，p.11的第二个菱形）
1ann??n?limn??n1?2n?1?cn?lim1n??n?2n?1?ncn?1R. 2三、解析函数的Taylor级数展开(Expand to the Taylor series)
前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我们的课程目标是关注函数的非解析性）。现在，我们要提一个相反的问题（inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？ 1. 解析函数的Taylor级数:（有限远常点附近的级数展开）
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Cauchy-Taylor定理： 设函数f(z)在圆域D：z?b?R内是解析的，则f(z)可以在D内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数 f(z)??ak?z?b?，其中
kk?0?1ak?2?if(k)(b)，并且这样的展开是唯一的。 ?C???b?k?1d??k!（k?0,1,2,）f(?)证明：我们要证明对任何R1?R（D内任 意一闭区域），所展开的幂级数在闭圆域 D1：z?b?R1上是绝对且一致收敛的。
在R1和R之间取一圆CR1?：
??b?R1?，根据Cauchy积分公式，有
f(z)?1f(?)d?，
2?iC???zR?1其中z是闭圆域z?b?R1内的任一点。
??1?因为???Zk(|Z|?1)?
?1?Zk?0?11111??z?b???????, z?b??z???b???z?b???b1???bk?0???b???b?R1?z?bR1?其中是收敛的。根据Weierstrass的M判别法，??1，即级数???????bR1?k?0?R1??kk???z?b?k??z?b?f(?)也是一致收敛级数??那么??k?1????b??是绝对且一致收敛的。????bk?0???k?0??k的 [一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数]，因此可以逐项积分，于是
???z?b?k?1f(?)1f(z)?d??f(?)d???k?1??2?iC???z2?iCR1???R1?k?0???b?????1?f(?)kk????d?z?b?az?b,?????kk?1?2?i?k?0?k?0???b?CR1????
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