Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU
n?1： ?111a1?a3?? a3? 2!3!31112n?2： a1?a3?a5? a5?
4!2!5!15… …（此处省去N个字）
12?所以 tanz?z?z3?z5?? (z?).
3152由于a1?1，方程（RR）为系数a2k?1的递推式(recurrence relation). 例12：求cotz在z?0邻域的Laurent级数。
解：分析：用与上面相似的方法可求得cotz在z?0邻域的Laurent级数。
cosz1?z2/2??注意cotz的最低次幂为?1:cotz?sinzz?z3/6??.
设cotz??a2k?1z2k?1, 其中a?1?1,a2k?1(k?1,2,3,)待定。同理可得
k?0cotz?1113?z?z?? (0?z??). z345? 待定系数法只能用于有限个负幂项（正幂项）的情形。 ? 对称性分析。 6． 其它展开法 例13：sin5z??1iz?iz5(e?e)?5(2i)?1(sin5z?5sin3z?10sinz),再代16(?)nz2n?1等等即可展开了。 sinz??n?0(2n?1)!例14：求函数f(z)?sin????11?z2?d?在z?1上的Laurant展开。
f(z)?解：
?1sin??12d??2?isin(1/z)2???122z??1/zz?1(?1)(z)2?i?z2(2n?1)!n?0?n?22n?1???2?i?(?1)1.4n?4(2n?1)!zn?0?n?1
六、孤立奇点的分类和特性
(Classications and characteristics of the isolated singular points)
1. 孤立奇点的定义： 设f(z)为单值函数（或多值函数的一个单值分支），
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但b点是它的奇点，即除z?b点以外,在z?b点邻域内f(z)处处可导，则称b为f(z)的孤立奇点。
11例1：z?0点是函数?1的孤立奇点。z?0点不是函数的孤立
zsin(1/z)奇点：它的数值不定[看下面的2 c) 本性奇点]，z?0为本性奇点。 如果z?b是f(z)的孤立奇点，则一定存在一个环域0?z?b?R，在此环域内，f(z)可展开成Laurent级数： f(z)?n????an?z?b?， 0?z?b?R.
n?正幂部分称为解析部分;负幂部分称为主要部分;两者均在环域0?z?b?R内解析;f(z)在z?b点的奇性完全由主要部分决定。 2. 孤立奇点的分类：
a) 可去奇点：级数中无主部（不含负幂项），即f(z)??an?z?b?.
n?0?nsinzz2z4?lim(1???例2：limz?0z?0z3!5!sinz的可去奇点。 z)?1, 因此当约定
sinzz?1时，z?0是
z?0* b为f(z)的可去奇点?limf(z)?a0（a0为有限复数）。
z?b证：因为z?b是可能的孤立奇点，又limf(z)?a0有限，所以在b的邻
z?b域有，|f(z)|?M, an?1f(z)1dz?2?i?C?z?b?n?12??f(z)z?bn?1Cdz?M?n.
曲线C：z?b??. 令??0，得an?0（n??1,?2,）,不含负幂项。
z?b??f(z) ** 约定f(z)??，则f(z)在b点也解析了(去掉了)。只要
limf(z) z?b??z?b有此约定，可去奇点就不是奇点了。 b)极点：级数中只有有限个负幂项，即
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f(z)?n??m?a?z?b?n?n??(z)(z?b)m,
其中?(z)?a?m?a?m?1(z?b)??a0(z?b)m?为z?b及其邻域的解析
函数。当m?1,a?m?0时，则称z?b为f(z)的m阶极点(poles of the order of m). m?1又称为单极点。 * z?b为f(z)的极点?limf(z)??.
z?bf(z)??，所以当z?b??证：因为z?b是孤立奇点，又limz?b时,f(z)?M1,11???f(z)M即lim1，z?b11?0.因此z?b是的可去f(z)f(z)?11k?0，?m?1. 因此上奇点，令??ak?z?b? (am?0)，?a0?limz?bf(z)f(z)k?m式又可改写为
11m??z?b??(z),其中?(z)~， 并且lim?(z)?am?0，
z?bf(z)?(z)?1k?(z)在z?b及其邻域内解析。因此，=?ck?z?b?(c0?0)~?(z)在z?b?(z)k?0及其邻域内也解析。所以ck=ak?m,cn?m=an:
f(z)??z?b??m???1?mkk?mn??z?b??ck?z?b???ck?z?b???cn?m?z?b?.?(z)k?0k?0n??m n?m?? ?n ** 若z?b是f(z)之m阶极点，则从lim?z?b?f(z)??a?m?0 n?m
z?b?0 n?m???可确定极点的阶数（n为自然数），而无需展开f(z)为Laurent式。 例3：
z有极点z?n?(n?0,1,2......). 但是 2sinzz?n?lim(z?n?)??(n?1)z?z?0为单极点。 ??sin2z?1(n?0)z?n?lim(z?n?)2z?n?(n?1)?z?n?为二阶极点。 sin2z***z?b是f(z)的m阶极点，则z?b一定是1f(z)的m阶零点。
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例4：z?n?是f(z)?1sinz的一阶极点（单极点）(n?0,1,2,).
z?1是f(z)?1?z?1?2的二阶极点。
c)本性奇点：级数中有无穷多个负幂项，即f(z)?n????an?z?b?.
n?* b为f(z)的本性奇点?limf(z)不存在[换句话说，z?b的方式
z?b不同，f(z)趋于不同的值]。 例5：z?0是e??1z1 (0?z??)的本性奇点。 nn?0n!z1z?当z沿正实轴趋于0时， e??； 当z沿负实轴趋于0时， e?0；
当z沿虚轴趋于0时， e不趋于一个确定的数； 特别是，当z以序列?i2n??n?1,2,1z1z?趋于0时， e?趋于0时， e1z?1； ??1；
1z当z以序列?i(2n?1)??n?1,2,当z以序列?i/(n?1/2)??n?1,2,1z?趋于0时， e??i.
Picard定理：若z?b是f(z)的本性奇点，则在b点的任意小的邻域内，f(z)
可以无限次地取任何一个数。
(?1)n?1,(n?0,?1,?2,，实数空间);
i2arga??|a|e,(??1/2，无穷个相位，两类数：+: n=even，-: n=odd);?a????i(2?n?arga)?,(??任意实数,n?0,?1,?2,，复数空间).??|a|e1
?还有 e.g., f(z)?z2?1，?[?f(z)]??复平面上单枝单值解析
[(?1)1/2??i--基本定义,(?1)1/2
??i].
d)无穷远点 (Chapter 1:无穷远点只有一个，其模??，而幅角不定): 如果z??是f(z)的孤立奇点，则在环域R?z?b??内，f(z) 29
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可展开成Laurent级数:
f(z)?n????azn?nz?0点的形式相同?b任意），(R?z?b??（和)
? 负幂部分称为解析部分; 正幂部分称为主要部分; 两者均在环域
R?z?b??内解析;
? 可去奇点：级数中不含正幂项；极点：级数中只有有限个正幂项； ? 本性奇点：级数中有无穷多个正幂项；或者，作代换z?1?，把f(z)化成f?1??，然后讨论??0点的奇性，即为z??的奇性。 例6:z??是f(z)?1的可去奇点； z??是f(z)?1?z2的二阶极点；1?z z??是ez,sinz,cosz的本性奇点(Laurent展式含无穷多个正幂项)。例7：z??是多项式pnzn?pn?1zn?1?......p1z?p0(pn?0)的n阶极点 （n个正幂项）。
例8：设实数k?1，试证明?kne?i(n?1)??n?0?n?11?, 即 i?e?kcos??k?isin??sin?cos??kn和ksin[(n?1)?]?kcos[(n?1)?]?. ??221?2kcos??k1?2kcos??kn?0n?0?111kn???. 证明：设z?k，则
z?kz1?kn?0zn?1z再设z?ei?（z?1?k）=cos??isin?，则
11cos??k?isin?cos??k?isin????. 222z?kcos??k?isin?(cos??k)?sin?1?2kcos??k比较得证。
思考题：枝点是什么类型的奇点？
（特别类，因为要割线，非孤立奇点，但是转一圈幅角有变化）
Home work: 3.5; 3.9; 3.12; 3.13: (1), (4).
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