Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU
(1?z2)2ndz. 解：I???|z|?1z2nz令z?Z,z?e,Z?e2i?i2?dzdZ(1?Z)2n, I?2??dZ,其中前因子2是,则?n?1|Z|?1z2Z2Z因为z的幅角转动一圈时Z的幅角转动二圈，而其积分将仅转动一圈。因为
n(1?Z)2n的n次幂的系数为c2n?(2n)!2?i(2n)!2n(n)??所以 ,I?(1?Z)?2?i. 22??Z?0(n!)n!(n!)
一个函数除了可以在解析点作Taylor（圆域内单连通、无奇点）展开外，有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数（环域内解析），此即Laurent展开。
1．Laurent定理：设函数f(z)在环形区域r?z?b?R内是单值解析的，则
f(z)可以在此环形区域内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数
f(z)?k????a?z?b?k?k，其中ak?1f(?)d? k?1?l2?i???b?[l是环域内围绕z?b一周的任何闭曲线(详见证明过程，只要?2??1并且遍及全解析区域—只能围绕
z?b一周)，积分沿逆时针方向]，并且这样的展开
是唯一的。
证明：这里所谓的在环域r?z?b?R内一致收敛，意即在任何一个外半径?2?R，内半径?1?r（点
画线）的闭环域?1?z?b??2上一致收敛。设z是环域r?z?b?R内任一点，且?1?z?b??2（粗实线附近）. 再取两个圆，z?b??1(z??)和，并满足r??1??1和?2??2?R. z?b??2(z??)（虚线）
根据复连通Cauchy积分公式，有(天衣无缝的手术刀，且两者积分方向相同)
f(z)?1f(?)1f(?)d??d?. ????212?i??z2?i??z 16
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当?在?1上时，因为|Z|???bz?b??1?1，则 ?1l1111????b?（内区域出现负幂次！） ?????，????zz?b1???bz?bl?0?z?b?z?b级数在?1上一致收敛，并且随着?1的减小，这种收敛愈加增快。
当?在?2上时，因为|Z|?z?b?2??1，则 ??b?2k1111??z?b?，（外区域仍然是正幂次！） ???????z?b??z??b1???bk?0???b???b级数在?2上一致收敛，并且随着?2的增大，这种收敛愈加增快。
????1f(?)1f(?)kk????d??d?z?b?az?b于是 ， ????kk?1?2?i??2??z2?i????bk?0?k?0??2??其中ak?1f(?)d?，这是外环线贡献，呈现正幂次。而 k?12?i??????b21?2?i???f(?)1f(?)?(l?1)d??d?z?b??????l??1??z?l?0?2?i?1???b?????1?f(?)kk???d?z?b?az?b,??????kk?1?2?ik??1?k??1??1???b???????
上述第一等式用了(?)(?)??,第二等式用了?(l?1)?k,其中
ak?1f(?)d?，这是内环线贡献，呈现负幂次。把两部分合并起来有 k?12?i?????b?1f(z)?k????ak?z?b?(r??1?z?b??2?R), ak?k?1f(?)d?. k?12?i???l??b* l是(?1,?2)之间即(r,R)之间绕z?b一周的任意一个正向闭合曲线。
** 类似Taylor级数收敛性的证明，可以证明正幂部分在区域z?b??2上是绝对
且一致收敛的：l是区域l?r并且?2以内走向为规定的正方向。
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在l?r区间，设（引进）展开系数回路积分（表达式）中的被积函数为
Fk(?)?f(?)/(??b)|k|?1，则其留数为a|k|. 这是因为，直观地
Fk(?)?f(?)/(??b)|k|?1?n????an???b?/(??b)|k|?1??n?a|k|??b.
虽然f(z)在环形区域r?z?b?R内单值解析，但是Fk(z)在区域l?r包括
?2以外以及至z?b无穷大内，最多有有限阶奇点甚至单值解析。对于外区
域的ak，当k?0时，被积函数Fk(?)在区域l?r最多有有限阶奇点。这一点在下面的例子中要用到[并且Fk(?)是单值解析的]。
*** 负幂部分在区域?1?z?b上是绝对且一致收敛的：l是区域l?R并且?1以
外走向为规定的正方向。
在l?R区间，引进函数Fk(?)?f(?)(z?b)|k|?1，它的留数为a?|k|. 这是因为
Fk(?)?f(?)(??b)|k|?1?n????a???b?(??b)n?n|k|?1??a?|k|??b.
Fk(z)在区域l?R包括?1以内以及z?b至零内，最多有有限阶奇点，从而就可计算了。对于内区域的ak，当k?0时，被积函数Fk(?)在区域l?R最多有有限阶奇点。（内外辩证！）。
**** 因此Laurent级数在环域?1?z?b??2内绝对且一致收敛。
下面证明展开的唯一性：设有f(z)?，以?ck?z?b?（?1?z?b??2）
k?k???2?i?z?b?n?1除上式两端，并关于z在l上积分，有
12?icn?1?1k?n?1dz?cz?bdz?2?icn?cn, ????l?z?b?n?12?ik???k?l2?if(z)12?i?0(k?n)为Kronecker符号。 ??dz?a.?k,nn?l?z?b?n?1?1(k?n)f(z)有关Laurent级数的几点说明：
1） Laurent级数有负幂项（当z?b不是f(z)的奇点时，负幂项系数全部为0）。
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2） 在圆域z?b?r内有奇点。奇点一般在圆z?b?r上，此时f(n)(b)存在，但是Cauchy
导数公式不成立。当然，如果z?b是f(z)的奇点，则f(n)(b)牙根儿不存在。 3） b点不一定是f(z)的奇点。如果r内部无奇点，则变成Taylor级数了。 4） 级数的收敛域为环。
f(k)(b)5） 系数（即使是正幂项系数）ak不能写为. 证明展开的唯一性只能用积分方法，
k!而Taylor级数展开的唯一性既可用微分方法又可用积分方法来证明。 6） 同一函数在不同环域上的Laurent展开有不同形式。 7） 正幂次项：
?a?z?b?kk?0???k叫正则部，在z?b??2内部绝对且一致收敛。
8） 负幂次项：
k??1，在?ak?z?b?叫主部（表征函数奇异特性时起主要作用的部分）
kz?b??1外部绝对且一致收敛。 z2?2z?5例：求函数f(z)?在区域 2?z?2?z?1??（1）2?z??；（2）1?z?2 的Laurent展式。
z2?2z?512解：f(z)?. ???z?2?z2?1z?2z2?1??It needs to focus on z?2,?i. 根据定义:
f(z)?n????cnzn,(b?0),cn??12?i?lf(z)dz. zn?11(1) 当2?z??时，cn?2?i?CRz2?2z?5dz，
zn?1?z?2??z2?1?z2?2z?51?12?=?其中被积函数 Fn(z)?n?1?发生了变化： n?1?22z?z?2??z?1?z?z?2z?1?对于c|n|即当n?0时，这个被积函数在z?0以外的全域是单值解析的。当n?0 19
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z2?2z?5?0, 根据大圆弧引理，所以有 时，求cn就简单了。这是因为limz?n?12z??z?z?2??z?1?limR???CRz2?2z?5dz?0, 即cn?0, ?n?0,1,2,??. n?12z?z?2??z?1?由于l任意的缘故，l内部z?0为n?1阶奇异，过于复杂（当然本例要求，其中CR最简单。cn?0, ?n?0,1,2,?? 表明此级数并无正则部分。 2?|z|??）
对于c?|n|即当n??1时，这个被积函数在z?0非奇点，而z?2,?i是l内部(0?z??)的三个一阶奇点。当n??1时，求cn就简单了。令m??n?1，则
c?m?cn?12?i??2m?1?1z?dz.挖去三个一阶奇点形成多通区域，由 ??l??z?2(z?i)(z?i)??2?C??l??????i???i??0,（see Chapter 2）
故
得到（这里先用了留数定理，see Chapter 5，p. 2）
?l???2???i??m??i?(z?2)Fn(z)|z?2?(z?i)Fn(z)|z?i?(z?i)Fn(z)|z??i?2m?1?im???1?im.c?m2k??2 (m?2k?1)??2k?1?k?0,1,2,k??2?2??1? (m?2k)?.
（2）当1?z?2时，
cn?12?i??l?f(z)1dz?zn?12?i?l?Fn(z)dz.
对n?0，1?z??， 由复连通区域Cauchy定理，
cn?12?iFn(z)dz?12?iCR??2Fn(z)dz,
其中首项是z?2以外，当R??时，
12?i?CRFn(zz)?d0,z?2以内（相反的方向，次项是
当然z?1以外），Fn(z)=1?12???仅仅z?2对积分有贡献；如果选择n?1?2z?z?2z?1? 20