【考点】： 抛物线的简单性质．
【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】： 根据过抛物线y=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=即可求得p的值，抛物线的方程．
【解析】： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|， 又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|， ∴∠NCB=30°， 有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6?x=1， 而x1+=3，x2+=1，且x1x2=∴（3﹣）（1﹣）=∴p=， 得y=3x． 故选：D．
【点评】： 此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．
12．（3分）（2015?乌鲁木齐模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=1，则Sn的取值范围是（ ）
A． （0，1） B． （0，+∞） C． [，1） D． [，+∞）
【考点】： 数列递推式．
【专题】： 等差数列与等比数列．
【分析】： 根据条件进行化简，得到{an}是以为首项，为公比的等比数列，求出Sn的表达式，即可得到结论．
【解析】： 解：n=1时，a1+S1=2a1=1， 解得a1=， n≥2时，
Sn=1﹣an，Sn﹣1=1﹣an﹣1， 两式相减的
Sn﹣Sn﹣1=1﹣an﹣1+an﹣1， 即an=an﹣1﹣an， 则2an=an﹣1，
2
2
，可得（3﹣）（1﹣）=，
，
，
即，为定值．
数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．
则Sn=
=1﹣（），
n
则1﹣≤Sn＜1， 即≤Sn＜1， 故选：C
【点评】： 本题主要考查递推数列的应用，利用条件判断数列{an}是等比数列是解决本题的关键． 二.填空题
13．（5分）（2015?乌鲁木齐模拟）已知x，y满足条件2 ．
【考点】： 简单线性规划． 【专题】： 不等式的解法及应用．
【分析】： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值． 【解析】： 解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣平移直线y=﹣直线y=﹣
，
，由图象可知当直线y=﹣的截距最小，此时z最小．
经过点D时，
，则z=x+2y的最小值为 ﹣由，解得，即D（0，﹣1）
此时z的最小值为z=0+2×（﹣1）=﹣2， 故答案为：﹣2．
【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
14．（5分）（2015?乌鲁木齐模拟）正三角形ABC的边长为2与点C间的距离为
【考点】： 球内接多面体．
【专题】： 计算题；空间位置关系与距离．
【分析】： 三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．
【解析】： 解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且AD=
=3，
，将它沿高AD翻折，使点B
，则四面体ABCD的外接球的表面积为 13π ．
正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r， 球心到底面的距离为，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：∴球的半径为r=
=
．
=13π．
=1
四面体ABCD外接球表面积为：4π×故答案为：13π．
【点评】： 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．
15．（5分）（2015?乌鲁木齐模拟）在△PQR中，若最大值为 12 ．
?
=7，|
﹣
|=6，则△PQR面积的
【考点】： 平面向量数量积的运算．
【专题】： 计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．
【分析】： 运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，再由重要不等式m+n≥2mn，得到nm的最大值，再由三角形的面积公式，化简整理即可得到所求值． 【解析】： 解：设|则|
?﹣
222
2
|=m，||=n，
=7，即为mncosP=7， |=6，即为m+n﹣2
22
2
2
=36，
即有m+n=50，
由于m+n≥2mn，则mn≤25， 当且仅当m=n=5取得等号， △PQR面积S=mnsinP=mn=
=12．
当且仅当m=n=5，取得最大值12． 故答案为：12．
【点评】： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
16．（5分）（2015?乌鲁木齐模拟）已知函数f（x）=x﹣3ax﹣6a+3a（a＞0）有且仅有一个零点x0，若x0＞0，则a的取值范围是 （
【考点】： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 【专题】： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】： 由题意求导f′（x）=3x﹣3a=3（x+a）（x﹣a），则由题意知f（﹣a）=2a﹣6a+3a=2a（a﹣
）（a﹣
）＜0，从而解得．
2
22
2
3
2
3
2
2
=
，） ．
【解析】： 解：f′（x）=3x﹣3a=3（x+a）（x﹣a）； 则函数f（x）=x﹣3ax﹣6a+3a在（﹣∞，﹣a）上是增函数， 在（﹣a，a）上是减函数， 在（a，+∞）上是增函数； 且f（﹣a）=2a﹣6a+3a=2a（a﹣则结合函数的图象知， 2a（a﹣故
）（a﹣＜a＜
；
）＜0；
3
23
2
2
）（a﹣）；
故答案为：（，）．
【点评】： 本题考查了导数的综合应用及数形结合的数学思想应用，属于中档题． 三.解答题
17．（10分）（2015?乌鲁木齐模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．
（Ⅰ）求证tanA=3tanB； （Ⅱ）若B=45°，b=
【考点】： 正弦定理；同角三角函数基本关系的运用． 【专题】： 解三角形．
【分析】： （Ⅰ）题中等式利用正弦定理化简，利用同角三角函数间基本关系整理即可得证； （Ⅱ）由tanB的值确定出tanA的值，进而求出sinA与cosA的值，由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入求出sinC的值，利用正弦定理求出c的值，由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积． 【解析】： 解：（Ⅰ）∵acosB﹣bcosA=c，
∴由正弦定理化简得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， 整理得：sinAcosB=3cosAsinB， ∵cosAcosB≠0， ∴tanA=3tanB；
（Ⅱ）∵tanA=3，∴sinA=
，cosA=
，
，求△ABC的面积．
由正弦定理=得：a===3，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴S△ABC=absinC=×3×
×
=3．
×+×=，
【点评】： 此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
18．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=2，E，F分别是CC1，A1B1的中点． （1）求证：AE⊥平面BCF； （2）求点F到平面ABE的距离．