【点评】： 本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
22．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）过以AB为直径的圆上C点作直线交圆于E点，交AB延长线于D点，过C点作圆的切线交AD于F点，交AE延长线于G点，且GA=GF． （Ⅰ）求证CA=CD；
（Ⅱ）设H为AD的中点，求证BH?BA=BF?BD．
【考点】： 与圆有关的比例线段． 【专题】： 立体几何．
【分析】： （I）由于GF是圆的切线，可得∠CGE=∠GAC，可得∠DCF=∠GAC．由GA=GF，可得∠GAF=∠AFG．再利用三角形的外角定理即可证明．
（II）连接CH，CB．由CA=CB，AB=BD．可得CH⊥AD．利用射影定理可得CB=BH?BA．利用△BCF∽△BDC．可得
，即可证明．
2
【解析】： （I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC， 又∵∠CGE=∠DCF， ∴∠DCF=∠GAC． ∵GA=GF， ∴∠GAF=∠AFG．
又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF， ∴∠CAF=∠D． ∴CA=CD．
（II）证明：连接CH，CB． ∵CA=CB，AB=BD． ∴CH⊥AD．
由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°， ∴CB=BH?BA．
∵∠BCF=∠CAB=∠D， ∴△BCF∽△BDC． ∴
22
，
∴BC=BF?BD， ∴BH?BA=BF?BD．
【点评】： 本题考查了三角形的外角定理、圆的弦切角定理、圆的性质、等腰三角形的性质、射影定理、三角形相似的性质定理，考查了推理能力，属于中档题．
23．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）在平面直角坐标系xOy中，P是直线2x+2y﹣1=0上的一点，Q是射线OP上的一点，满足|OP|?|OQ|=1． （Ⅰ）求Q点的轨迹；
（Ⅱ）设点M（x，y）是（Ⅰ）中轨迹上任意一点，求x+7y的最大值．
【考点】： 简单曲线的极坐标方程；轨迹方程． 【专题】： 计算题；坐标系和参数方程． 【分析】： （Ⅰ）设射线OP的极坐标方程为ρ=
，依题意可知，动点Q的极
坐标为（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|?|OQ|=1，可得ρ′?ρ=1，即可求出Q点的轨迹； （Ⅱ）设M（1+
cosα，1+
sinα），可得x+7y=1+
cosα+7+7
sinα=8+10sin（α+γ），即
可求x+7y的最大值．
【解析】： 解：（Ⅰ）设射线OP的极坐标方程为ρ=
，
依题意可知，动点Q的极坐标为（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|?|OQ|=1，可得ρ′?ρ=1． ∴ρ=
22
=2cosθ+2sinθ，
∴ρ=2ρcosθ+2ρsinθ， ∴x+y=2x+2y，
∴（x﹣1）+（y﹣1）=2， ∴Q点的轨迹是以（1，1）为圆心，（Ⅱ）设M（1+∴x+7y=1+
cosα，1+cosα+7+7
为半径的圆；
sinα），
2
2
2
sinα=8+10sin（α+γ），
∴x+7y的最大值为18．
【点评】： 本题考查极坐标与参数方程，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．
24．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0． （Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
【考点】： 绝对值不等式的解法；其他不等式的解法． 【专题】： 计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．
【分析】： （Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；
（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））
min即可．
【解析】： （Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0， 则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|
=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）| =|x+|=|x|+
≥2
=2．
（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0． 当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a； 当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a； 当x
时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．
则f（x）的值域为[﹣，+∞），
不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为 ＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0， 则a的取值范围是（﹣1，0）．
【点评】： 本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题．