【考点】： 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【专题】： 综合题；空间位置关系与距离．
【分析】： （1）建立坐标系，利用向量法证明AE⊥平面BCF； （2）由题意，F到A1C1的距离即为所求．
【解析】： （1）证明：建立以C1为坐标原点的空间坐标系如图， ∵AC=BC=AA1=2，E，F分别是CC1，A1B1的中点．
∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A1（0，2，0），F（1，1，0），B1（2，0，0），C（0，0，2） 则则则
=（0，﹣2，﹣1），?⊥
=0，，
?⊥
=（﹣2，0，0），
=（1，1，﹣2），
=﹣2+2=0， ，
即AE⊥BC，AE⊥CF，BC∩CF=C， ∴AE⊥平面BCF；
（2）解：取AB的中点O，连结CO，FO， ∵CB=CA， ∴CO⊥AB
∴平面ABC⊥平面BB1A1A， ∴CO⊥平面ABF， 而CE∥平面BB1A1A，
∴E到平面ABF的距离就是CO的长，∴S△ABF=AB?OF=2∴
，
，
，
，
又Rt△ECB和Rt△ECA中，易知EB=EA=又AB=2故EO=
，
=
，
∴S△ABE=EO?AB=
设F到平面ABE的距离为d，
由VF﹣ABE=VE﹣ABF，得S△ABEd=，解得d=
．
【点评】： 本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，考查F到平面ABE的距离，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．
19．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）某市现有居民300万人，每天有1%的人选择乘出租车出行，记每位乘客的里程为x（km），1≤x≤21．由调查数据得到x的频率分布直方图（如图），在直方图的里程分组中，可以用各组的区间中点值代表该组的各个值，里程落入该区间的频率作为里程取该区间中点值的概率．现规定里程x≤3时，乘车费用为10元；当x＞3时，每超出1km（不足1km按1km计算），乘车费用增加1.3元． （Ⅰ）试估算乘客的乘车费用不超过15.2元的概率；
（Ⅱ）试估计出租车司机一天的总收入是多少？（精确到0.01万元）
【考点】： 频率分布直方图． 【专题】： 概率与统计．
【分析】： （Ⅰ）乘客的乘车费用不超过15.2元时，出行的路程不超过7km，求出对应的频率即可；
（Ⅱ）计算乘客出行路程平均值与乘车费用，求出该市居民一天的乘车费用即可． 【解析】： 解：（Ⅰ）当乘客的乘车费用不超过15.2元时，乘客出行的路程不超过7km， 对应的概率为0.0625×4+0.1×2=0.45； （Ⅱ）乘客出行的路程平均值是
0.0625×4×3+0.1×4×7+0.05×4×11+0.025×4×15+0.0125×4×19=8.2， 行驶8.2km的乘车费用为10+（9﹣3）×1.3=17.8， 该市居民一天的乘车费用为17.8×300×1%=53.4； ∴估计出租车公司一天的总收入是53.4万元．
【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了求平均值的问题，是基础题目．
20．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）已知椭圆是其焦点，点P在椭圆上．
（Ⅰ）若∠F1PF2=90°，且△PF1F2的面积等于1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线PF1交椭圆于另一点Q，分别过点P，Q作直线PQ的垂线，交x轴于点M，N，当|MN|取最小值时，求直线PQ的斜率．
【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F1，F2
【分析】： （I）设|PF1|=m，|PF2|=n，由已知可得：
，解得即可；
（II）椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得=，可得椭圆的方程可化为x+2y=2c．
222
由题意可知PQ的斜率存在，设PQ的方程为：y=k（x+c），P（x1，y1），Q（x2，y2）．（k≠0）．与椭圆方程联立可得化为（1+2k）x+4kcx+2kc﹣2c=0， 直线PM的方程为：
，令y=0，可得xM=x1+ky1．同理可得xN=x2+ky2，
2
2
2
2
22
2
把根与系数的关系代入|MN|=|x2﹣x1+k（y2﹣y1）|=|1+k||x2﹣x1|=|1+k|
利用导数研究其单调性即可得出．
2
=．令t=1+k＞1，f（t）=
2
，
【解析】： 解：（I）设|PF1|=m，|PF2|=n，由已知可得：
，解得b=1，
2
c=1，a=2．
∴椭圆的标准方程为：
=1．
2
（II）椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
2
，可得=，=，
∴椭圆的方程可化为x+2y=2c．
由题意可知PQ的斜率存在，设PQ的方程为：y=k（x+c），P（x1，y1），Q（x2，y2）．（k≠0）． 联立
，化为（1+2k）x+4kcx+2kc﹣2c=0，
2
2
2
22
2
∴x1+x2=
，，
直线PM的方程为：同理可得xN=x2+ky2，
，令y=0，可得xM=x1+ky1．
∴|MN|=|x2﹣x1+k（y2﹣y1）|=|1+k||x2﹣x1|=|1+k|
2
2
=c．
令t=1+k＞1，f（t）=
2
，则f′（t）
==．
令f′（t）＞0，解得数f（t）单调递减．
，此时函数f（t）单调递增；令f′（t）＜0，解得1，此时函
∴当t=时，函数f（t）取得最小值，
=
．
c．
=，即时，|MN|取得最小值
当k=0时，可得|MN|=2a=2而2
c
．
∴当|MN|取最小值时，直线PQ的斜率k=．
【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2015?乌鲁木齐模拟）已知函数f（x）=ln（a+x）﹣ln（a﹣x）（a＞0）． （Ⅰ）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，求a的值； （Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥2x+
【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】： 导数的综合应用．
【分析】： （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值； （Ⅱ）当x≥0时，构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣调性即可求a的取值范围．
【解析】： 解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=
，
=2，
，求函数的导数，利用导数研究函数的单
，试求a的取值范围．
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=解得a=1；
（Ⅱ）当x≥0时，设g（x）=f（x）﹣（2x+
2
），
2
2
4
2
则g′（x）=f′（x）﹣2﹣2x=x+a﹣a]
2
2
﹣2﹣2x=﹣2﹣2x=[x﹣（a﹣1）
①当0＜a＜1时，a﹣1＜0，a﹣a＞0，
当0≤x＜a时，x﹣（a﹣1）x+a﹣a＞0，即g′（x）≥0， 则函数g（x）在[0，a）上为增函数， ∴g（x）≥g（0）=0，即此时f（x）≥2x+②当a＞1时，a﹣1＞0，a﹣a＜0 ∴0
4
2
22
2
4
2
2
2
22
，成立．
时，x﹣（a﹣1）＜0，
2
22
从而x﹣（a﹣1）x+a﹣a＜0，即g′（x）＜0， 即函数g（x）在（0，∴当0＜x＜
）上为减函数，
时，g（x）＜g（0）=0，与题意不符，
时．a的取值范围是0＜a＜1．
综上当x≥0时，f（x）≥2x+