立体几何高考真题大题
1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ?AFD?90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．
??DC?F?? （Ⅰ）证明：平面ABEF?平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）?【解析】
试题分析：（Ⅰ）先证明?F?平面?FDC,结合?F?平面???F,可得平面???F?219 19??平面?FDC．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面?C?的法向量m及平面?C?的法
???n?m??向量n ,再利用cosn,m???求二面角．
nm试题解析：（Ⅰ）由已知可得?F?DF,?F?F?,所以?F?平面?FDC． 又?F?平面???F,故平面???F?平面?FDC．
（Ⅱ）过D作DG??F,垂足为G,由（Ⅰ）知DG?平面???F．
????????G以为坐标原点,GF的方向为x轴正方向,GF为单位长度,建立如图所示的空间直
角坐标系G?xyz．
由（Ⅰ）知?DF?为二面角D??F??的平面角,故?DF??60,则DF?2,?DG?3,可得??1,4,0?,???3,4,0?,???3,0,0?,D0,0,3．
由已知,??//?F,所以??//平面?FDC．
又平面??CD?平面?FDC?DC,故??//CD,CD//?F．
由??//?F,可得???平面?FDC,所以?C?F为二面角C????F的平面角,
???C?F?60?．从而可得C?2,0,3．
????????????????所以?C?1,0,3,????0,4,0?,?C??3,?4,3,?????4,0,0?．
??????试卷第1页，总18页
设n??x,y,z?是平面?C?的法向量,则
?????????x?3z?0?n??C?0,即, ??????????4y?0?n????0所以可取n?3,0,?3．
???????????m??C?0设m是平面??CD的法向量,则?????, ???m????0???n?m219??同理可取m?0,3,4．则cosn,m?????．
nm19??故二面角???C??的余弦值为?219． 19
考点：垂直问题的证明及空间向量的应用
【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主．第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决．
2．（2016高考新课标2理数）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
5AB?5,AC?6，点E,F分别在AD,CD上，AE?CF?，EF交BD于点H．将
4?DEF沿EF折到?D?EF位置，OD??10．
（Ⅰ）证明：D?H?平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B?D?A?C的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】
295． 25试卷第2页，总18页
试题分析：（Ⅰ）证AC//EF，再证DH?OH，最后证D'H?平面ABCD；（Ⅱ）用向量法求解．
试题解析：（Ⅰ）由已知得AC?BD，AD?CD，又由AE?CF得'AECF?，故ADCDAC?6得
AC//EF．
因此
EF?H，从而EF?D?H．由AB?5,
DO?B0?AB2?AO2?4．
由EF//AC得OHAE1??．所以OH?1，D?H?DH?3． DOAD42222于是OH?1，D?H?OH?3?1?10?D?O， 故D?H?OH．
又D?H?EF，而OH?EF?H， 所以D?H?平面ABCD．
zD'AEOHCFxDyB
????（Ⅱ）如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系H?xyz，
????则H?0,0,0?，A??3,?2,0?，B?0,?5,0?，C?3,?1,0?，D??0,0,3?，AB?(3,?4,0)，???????????AC??6,0,0?，AD???3,1,3?．设m??x1,y1,z1?是平面ABD?的法向量，则????????3x1?4y1?0?m?AB?0，即?， ????????3x?y?3z?0?111??m?AD??0??????????n?AC?0'所以可以取m??4,3,?5?．设n??x2,y2,z2?是平面ACD的法向量，则??????， ???n?AD??0?6x2?0即?，
3x?y?3z?0?222试卷第3页，总18页
???????m?n?1475所以可以取n??0,?3,1?．于是cos， ?mn,???????25|m|?|n|50?10???295sin?m,n??．
25因此二面角B?D?A?C的正弦值是295． 25考点：线面垂直的判定、二面角． 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 3．（2016高考山东理数）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线．
（Ⅰ）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （Ⅱ）已知EF=FB=1AC=23，AB=BC．求二面角F?BC?A的余弦值． 2【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7 7【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH与平面ABC平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到?FNM为二面角F?BC?A的平面角直接求解．
试题解析：
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（Ⅰ）证明：设FC的中点为I,连接GI,HI, 在△CEF,因为G是CE的中点，所以GI//EF, 又EF//OB,所以GI//OB,
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI//BC， 又HI?GI?I,所以平面GHI//平面ABC， 因为GH?平面GHI，所以GH//平面ABC． （Ⅱ）解法一：
连接OO',则OO'?平面ABC，
又AB?BC,且AC是圆O的直径，所以BO?AC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz，
由题意得B(0,23,0)，C(?23,0,0)，过点F作FM垂直OB于点M， 所以FM?FB2?BM2?3, 可得F(0,3,3) ????????故BC?(?23,?23,0),BF?(0,?3,3)． ??设m?(x,y,z)是平面BCF的一个法向量．
????????m?BC?0, 由?????????m?BF?0???23x?23y?0, 可得????3y?3z?0??3), 可得平面BCF的一个法向量m?(?1,1,3?因为平面ABC的一个法向量n?(0,0,1),
试卷第5页，总18页