??????m?n7所以cos?m,n??????．
|m||n|7所以二面角F?BC?A的余弦值为7． 7
解法二：
连接OO'，过点F作FM?OB于点M， 则有FM//OO',
又OO'?平面ABC， 所以FM⊥平面ABC, 可得FM?FB2?BM2?3, 过点M作MN垂直BC于点N，连接FN， 可得FN?BC,
从而?FNM为二面角F?BC?A的平面角． 又AB?BC,AC是圆O的直径， 所以MN?BMsin45??6, 2从而FN?742. ，可得cos?FNM?72所以二面角F?BC?A的余弦值为7． 7考点：1．平行关系；2．异面直线所成角的计算．
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题．解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明．立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法．本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\\转化与化归思想及基本运算能力等． 4．（2016高考天津理数）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
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（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角O-EF-C的正弦值； （Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=2HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值． 3【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）37（Ⅲ） 321【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值
????????????试题解析：依题意，OF?平面ABCD，如图，以O为点，分别以AD,BA,OF的方
向为x轴，y轴、
z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，
A??1,1,0?,B(?1,?1,0),C(1,?1,0),D(11，,0),E(?1,?1,2),F(0,0,2),G(?1,0,0)．
??????????（Ⅰ）证明：依题意，AD?(2,0,0),AF??1,?1,2?．设n1??x,y,z?为平面ADF的
??????????2x?0?n1?AD?0z?1法向量，则??????，即? ．不妨设，可得n1??0,2,1?，又?x?y?2z?0???n1?AF?0试卷第7页，总18页
??????????F所以EG??0,1,?2?，可得EG?1n?0，又因为直线EG?平面AD，EG//平面ADF．
????（Ⅱ）解：易证，OA???1,1,0?为平面OEF的一个法向量．依题意，
????????????????????n2?EF?0CEF．设为平面的法向量，则，EF??1,1,0?,CF???1,1,2?n2??x,y,z???????????n2?CF?0????x?y?0即? ．不妨设x?1，可得n2??1,?1,1?．
?x?y?2z?0??????????????????????3OA?n26因此有cos?OA,n2?????，于是sin?OA,n2??，所以，二面角??????33OA?n2O?EF?C的正弦值为3． 3????22AF（Ⅲ）解：由AH?HF，得AH?．因为AF??1,?1,?2，所以
35????2?????2?????284?2?4?334?AH?AF??,?,?，进而有H??,,?，从而BH??,,?，因此5?555??555??555???????????????BH?n27．所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为cos?BH,n2???????????21BH?n27． 21考点：利用空间向量解决立体几何问题
5．（2016年高考北京理数）如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，
PA?PD，PA?PD，AB?AD，AB?1，AD?2，AC?CD?5．
（1）求证：PD?平面PAB；
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（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面PAD；根据线面垂直性质定理可知AB?PD，再由线面垂直判定定理可知PD?平面PAB；（2）取AD的中点O，连结PO，CO，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O?xyz，利用向量法可求出直线
AM的值；若APAM13? ；（3）存在，AP43PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设AM??AP，
根据BM//平面PCD，即BM?n?0，求?的值，即可求出试题解析：（1）因为平面PAD?平面ABCD，AB?AD，
所以AB?平面PAD，所以AB?PD， 又因为PA?PD，所以PD?平面PAB； （2）取AD的中点O，连结PO，CO， 因为PA?PD，所以PO?AD．
又因为PO?平面PAD，平面PAD?平面ABCD， 所以PO?平面ABCD．
因为CO?平面ABCD，所以PO?CO． 因为AC?CD，所以CO?AD．
如图建立空间直角坐标系O?xyz，由题意得，
AM的值． APA(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,?1,0),P(0,0,1)．
设平面PCD的法向量为n?(x,y,z)，则
???????n?PD?0,??y?z?0,即? ??????2x?z?0,??n?PC?0,?令z?2，则x?1,y??2． 所以n?(1,?2,2)．
又PB?(1,1,?1)，所以cos?n,PB??n?PBnPB??3． 3所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3． 3试卷第9页，总18页
（3）设M是棱PA上一点，则存在??[0,1]使得AM??AP． 因此点M(0,1??,?),BM?(?1,??,?)．
因为BM?平面PCD，所以BM∥平面PCD当且仅当BM?n?0， 即(?1,??,?)?(1,?2,2)?0，解得??1． 4AM1?． AP4所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时考点：1．空间垂直判定与性质；2．异面直线所成角的计算；3．空间向量的运用． 【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等．
PA?地面ABCD，AD?BC，6．（2016高考新课标3理数）如图，四棱锥P?ABC中，
AB?AD?AC?3，PA?BC?4，M为线段AD上一点，AM?2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN?平面PAB；
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
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