中考数学复习
一． 新情境应用问题
Ⅰ、综合问题精讲：
以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心. Ⅱ、典型例题剖析
【例1】如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米.
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据2?1.41，3?1.73)．
解：(1)100；（2）(60?10t)；
⑶作OH?PQ于点H，可算得OH?1002?141（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则PH?20t10?2算得t?52（小时），此时，受
台风侵袭地区的圆的半径为：60?10?52?130.5（千米）＜∴城市O不会受到侵袭。 点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数 知识来解决，也可借助于方程．
【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海 域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10 海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时的速度 向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问： ⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
解：设需要t小时才能追上，则A B=24 t，OB=26t．
222
（l）在Rt△AOB中，OB= OA+ A B，
222
即（26t）=10 +（24 t）
解得t=±l，t=－1不合题意，舍去，t=l， 即需要1小时才能追上．
，141（千米）
26海里／时的速度追赶，
AB24t12
（2）在Rt△AOB中，因为sin∠AOB= = = ≈0.9231 ，所以∠AOB≈6 7．4°，
OB26t13 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°．
点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图．
【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价
格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
⑴按该公司要求可以有几种购买方案？
⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？ 解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。
由题意，得7x?5(6?x)?34，
解这个不等式，得x?2，即x可以取0、1、2三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台； （2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为137＋535＝32万元；，新购买机器日生产量为13100＋5360＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为237＋435＝34万元；新购买机器日生产量为23100＋4360＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。 【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?
解：根据题意，可有三种购买方案； 方案一：只买大包装，则需买包数为：50?5；
由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30310=300(元) 方案二：只买小包装．则需买包数为：
480?16 3048048所以需买1 6包，所付费用为1 6320＝320(元)
方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装x 包．小包装y包．所需费用为W元。 ?50x?30y?480则? W??10x?320 ?W?30x?203∵0?50x?480，且x为正整数， ∴x?9时，W最小?290(元)．
∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。 答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。
点拨：数学知识来源于生活，服务于生活，对于实际问题，要富有创新精神和初中能力，借助于方程或不等式来求解。
【例5】如图2-2-4所示，是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在有O、A两个观测32
点，分别测得目标点火炬C的仰角分别为α，β，OA=2米，tanα= , tanβ= ,位于点O正上方2 米处的点D的
53发身装置可以向目标C同身一个火球点燃火炬，该火球运行地轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米
时，相应的水平距离为12米(图中E点)。
⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式； ⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标C？
解：⑴由题意可知：抛物线顶点坐标为(12,20)，D点的坐标为(0，2)，所以抛物线解析式为y?a(x?h)2?k,即
y?x(x?12)2?20
2 ∵点D在抛物线上，所以2=a(?12)?20,即a??8
1 ∴抛物线解析式为：y??1x2?3x?2(0?x?12?410)
8 ⑵过点C作CF丄x轴于F点，设CF=b，AF=a，则
b2??a?18.tan??? ?解得： ?a3?????12.?tana?b?3，?a?25? 则点C的坐标为(20,12)，当x=20时，函数值y= ?1?202?3?20?2?12,所以能点燃目标C．
8 点拨：本题是三角函数和抛物线的综合应用题，解本题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化为数学问题
来解决．
二．几何探索题巡视
探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。 一、实验型探索题
例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在△ABC中，AB＝AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。
图1
问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？
如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2(1)），这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点（如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2(3)），这样就能把这个正三角形的面积4等分了。
图2
（1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。
图3
（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。 （3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？
图4
（4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）
图5
分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。 解：（1）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。
（2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。
理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积m等分。
（3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积m等分了。
（4）连接正n边形的中心和各顶点，然后将这个正n边形各边m等分，再依次将n个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正n边形的面积m等分了。 二、操作型探索题
例2.已知线段AC＝8，BD＝6。
（1）已知线段AC⊥BD于O（O不与A、B、C、D四点重合），设图6（1）、图6（2）和图6（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3，则S1＝_________，S2＝_________，S3＝_________；
图6
（2）如图6（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、B、C、D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的结论；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A、B、C、D所围成的封闭图形的面积是多少。
分析：题（1）实际上是将BD沿AC由下向上移动，计算BC在不同位置时四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（2）是AC沿BD左右移动，计算四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。 解：（1）24 24 24
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、C、B、D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24。证明如下： 显然，S△BCA? S四边形ABCD11AC·OB，S△DAC?AC·OD 2211?AC·OB?AC·OD 221AC(OB?OD)2 1?AC·BD?242? （3）所围成的封闭图形的面积仍为24。 三、观察猜想型探索题
例3. （山西省）如图7，正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上，连接BE、DG。
图7
（1）观察并猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。
分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。 解：（1）BE＝DG，证明如下：
在Rt△BCE和Rt△DCG中，BC＝CD，CE＝CG， ∴△BCE≌△DCG。故BE＝DG。
（2）将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG重合。 四、图形计数型探索题